数学必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法当堂检测题

这是一份数学必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法当堂检测题，共12页。试卷主要包含了2.1　复数的加法与减法，－－5i＝________.，已知z1＝＋i，z2＝－i，等内容，欢迎下载使用。


1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )
A．8iB．6
C．6＋8iD．6－8i
2．(5－i)－(3－i)－5i＝________.
3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
4.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．在复平面内，O是原点，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则eq \(BC,\s\up6(→))表示的复数为( )
A．2＋8iB．－6－6i
C．4－4iD．－4＋2i
6．如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)eq \(AO,\s\up6(→))所表示的复数，eq \(BC,\s\up6(→))所表示的复数；
(2)对角线eq \(CA,\s\up6(→))所表示的复数；
(3)对角线eq \(OB,\s\up6(→))所表示的复数及eq \(OB,\s\up6(→))的长度．
7.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在( )
A．实轴上B．虚轴上
C．第一象限D．第二象限
8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1B.eq \f(1,2)
C．2D.eq \r(5)
9．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
一、选择题
1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A．1＋iB．1＋3i
C．－1－iD．－1－3i
2．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋iB．2＋i
C．3D．－2－i
3．复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是( )
A．mC.eq \f(2,3)1
4．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，则z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1B．2
C．－2D．－2或1
5．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A.eq \r(5)B．5
C．2eq \r(5)D．10
6．(探究题)如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1B.eq \r(2)
C．2D.eq \r(5)
二、填空题
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i，(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
8．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
9．(易错题)A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为________．
三、解答题
10．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))，其中O是原点，求向量eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数及A，B两点之间的距离．
1．(多选)已知z1，z2是复数，以下结论错误的是( )
A．若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0
B．若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0
C．若|z1|＝|z2|，则向量eq \(OZ1,\s\up6(→))和eq \(OZ2,\s\up6(→))重合
D．若|z1－z2|＝0，则eq \x\t(z1)＝eq \x\t(z2)
2．复数z1＝1＋icsθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2eq \r(2)B.eq \r(2)－1
C．3＋2eq \r(2)D.eq \r(2)＋1
3．(学科素养——运算能力)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
10．2 复数的运算
10．2.1 复数的加法与减法
必备知识基础练
1．答案：B
解析：根据复数的加法法则得，z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
2．答案：2－5i
解析：根据复数的减法法则可得，(5－i)－(3－i)－5i＝2－5i.
3．答案：－1
解析：∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.
4．答案：D
解析：∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
5．答案：C
解析：eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))＝3＋2i－(1＋5i－2＋i)＝4－4i.
∴eq \(BC,\s\up6(→))表示的复数为4－4i.
6．解析：(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，
所以eq \(AO,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.
因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))，所以eq \(BC,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.
(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(CA,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(OB,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋62)＝eq \r(37).
7．答案：B
解析：∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上．
8．答案：A
解析：设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以Z点在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.
9．答案：A
解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．
关键能力综合练
1．答案：B
解析：z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
2．答案：D
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋a＝0，,b＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1.))∴a＋bi＝－2－i.
3．答案：B
解析：∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，
∴m－1<0，∴m<1.
4．答案：C
解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2＋a＝0，,a2－3a＋2≠0，))得a＝－2.
5．答案：B
解析：依题意，eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
6．答案：A
解析：设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值．
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，|Z0Z3|＝1.故选A.
7．答案：5－9i －8－7i
解析：z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
8．答案：eq \f(3,4)＋i
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2).
∴x＋yi＋eq \r(x2＋y2)＝2＋i.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))
∴z＝eq \f(3,4)＋i.
9．答案：直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
10．解析：因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))，其中O是原点，所以eq \(OA,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，
所以向量eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数是2，
又eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，
所以eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是－8－2i，
A，B两点之间的距离|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|－8－2i|＝eq \r((－8)2＋(－2)2)＝2eq \r(17).
学科素养升级练
1．答案：AC
解析：A中z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2；B中|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0；C中|z1|＝|z2|，说明|eq \(OZ1,\s\up6(→))|＝|eq \(OZ2,\s\up6(→))|，但eq \(OZ1,\s\up6(→))与eq \(OZ2,\s\up6(→))方向不一定相同；D中|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故eq \x\t(z1)＝eq \x\t(z2)；故错误的为A，C选项．
2．答案：D
解析：|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cs θ＋1)i|
＝eq \r((1－sin θ)2＋(1＋cs θ)2)
＝eq \r(3＋2(cs θ－sin θ))
＝ eq \r(3＋2\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))).
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))max＝1，
∴|z1－z2|max＝eq \r(3＋2\r(2))＝eq \r(2)＋1.
3．解析：(1)∵向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，
∴向量eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴向量eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数为3－i，
即eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，－1)．
设D(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝0.))
∴点D对应的复数为5.
(2)∵eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs B，
∴cs B＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq \f(1,5\r(2))＝eq \f(\r(2),10).
∴sin B＝eq \f(7\r(2),10).
∵S▱ABCD＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|sin B＝eq \r(5)×eq \r(10)×eq \f(7\r(2),10)＝7，
故平行四边形ABCD的面积为7.
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
复数的加、减运算
知识点二
复数加减运算的几何意义
知识点三
复数加、减法及几何意义的综合应用
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层