高中人教B版 (2019)10.3 复数的三角形式及其运算测试题

这是一份高中人教B版 (2019)10.3 复数的三角形式及其运算测试题，共12页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。


1.复数z＝eq \r(3)－i的三角形式为( )
A．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)－isin\f(5π,3)))
C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,6)－isin\f(7π,6)))D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,6)＋isin\f(11π,6)))
2．复数z＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)＋ics\f(2π,3)))化为代数形式为( )
A.eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)iB．－eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)i
C．－eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)iD.eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i
3．将复数z＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))化为代数形式为________．
4．argeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝________.
5.计算：(eq \r(3)＋i)(cs60°＋isin60°)＝________.
6．计算：(1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))×eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,6)＋isin\f(5π,6)))；
(2)2(cs5°＋isin5°)×4(cs30°＋isin30°)×eq \f(1,2)(cs25°＋isin25°)．
7.设π<θA．2π－3θB．3θ－2π
C．3θD．3θ－π
8．计算(csπ＋isinπ)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝________.
一、选择题
1．复数z1＝1，z2由z1绕原点O逆时针方向旋转eq \f(π,6)而得到，则arg(z2z1)的值为( )
A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,3)
2．复数－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i的三角形式是( )
A．cs60°＋isin60°B．－cs60°＋isin60°
C．cs120°＋isin60°D．cs120°＋isin120°
3．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(csA＋isinA)÷(csB＋isinB)·(csC＋isinC)是一个实数，则△ABC是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．形状不能确定
4．复数cseq \f(π,3)＋isineq \f(π,3)经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于( )
A．3B．12
C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)
5．复数z＝cseq \f(π,15)＋isineq \f(π,15)是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为( )
A.eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)iB.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i
C．－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)iD．－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
6．(探究题)若复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n为实数，则正整数n的最小值是( )
A．1B．2
C．3D．4
二、填空题
7．设z＝1＋i，则复数eq \f(z2－3z＋6,z＋1)的三角形式是________．
8．复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________．
9．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．
三、解答题
10．写出下列复数的三角形式：
(1)ai(a∈R)；
(2)tanθ＋ieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<θ<π))；
(3)－eq \r(3)(sinθ－icsθ)．
1．(多选)复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是( )
A.eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)iB.eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i
C．－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)iD．－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i
2．计算：z＝2÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))))＝________，则|z|＝________.
3．设z1＝eq \r(3)＋i，z2＝1－i，z3＝sineq \f(π,12)＋icseq \f(π,12)，求eq \f(z1·z\\al(3,2),i9·\x\t(z3))的值．
10．3* 复数的三角形式及其运算
必备知识基础练
1．答案：D
解析：因为r＝2，所以cs θ＝eq \f(\r(3),2)，与z＝eq \r(3)－i对应的点在第四象限，所以arg(eq \r(3)－i)＝eq \f(11π,6)，
所以z＝eq \r(3)－i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,6)＋isin\f(11π,6))).
2．答案：D
解析：z＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)＋ics\f(2π,3)))
＝eq \r(3)sineq \f(2π,3)＋eq \r(3)icseq \f(2π,3)＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋ieq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))
＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i.
3．答案：1－i
解析：z＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)－isin\f(π,4)))＝eq \r(2)×cseq \f(π,4)－ieq \r(2)×sineq \f(π,4)＝1－i.
4．答案：eq \f(4π,3)
解析：复数z＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i对应的点位于第三象限，且cs θ＝－eq \f(1,2)，所以argeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq \f(4π,3).
5．答案：2i
解析：法一 (eq \r(3)＋i)(cs 60°＋isin 60°)
＝2(cs 30°＋isin 30°)(cs 60°＋isin 60°)
＝2(cs 90°＋isin 90°)＝2i.
法二 (eq \r(3)＋i)(cs 60°＋isin 60°)＝(eq \r(3)＋i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))
＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,2)i＋eq \f(1,2)i－eq \f(\r(3),2)＝2i.
6．解析：(1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))×eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,6)＋isin\f(5π,6)))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,2)＋isin\f(3π,2)))
＝－2eq \r(3)i.
(2)2(cs 5°＋isin 5°)×4(cs 30°＋isin 30°)×eq \f(1,2)(cs 25°＋isin 25°)＝8(cs 35°＋isin 35°)×eq \f(1,2)(cs 25°＋isin 25°)＝4(cs 60°＋isin 60°)＝2＋2eq \r(3)i.
7．答案：B
解析：eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs θ－isin θ)＝eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs(－θ)＋isin(－θ))
＝cs 3θ＋isin 3θ，
∵π<θ∴π<3θ－2π8．答案：－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i
解析：(cs π＋isin π)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝cseq \f(2π,3)＋isineq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：由题可知z1＝1＝cs 0＋isin 0，z2＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6)，所以z2z1＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6)，所以arg(z2z1)＝eq \f(π,6).
2．答案：D
解析：令z＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i＝a＋bi，
则r＝|z|＝1，a＝－eq \f(1,2)，b＝eq \f(\r(3),2)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝\f(a,r)＝－\f(1,2)，,sin θ＝\f(b,r)＝\f(\r(3),2).))∴可取θ＝120°.
∴z＝cs 120°＋isin 120°＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
3．答案：C
解析：arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝eq \f(π,2).
4．答案：C
解析：由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))n＝cseq \f(nπ,3)＋isineq \f(nπ,3)＝cseq \f(π,3)－isineq \f(π,3)，
由复数相等的定义，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs\f(nπ,3)＝cs\f(π,3)＝\f(1,2)，,sin\f(nπ,3)＝－sin\f(π,3)＝－\f(\r(3),2).))
解得eq \f(nπ,3)＝2kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)，∴n＝6k－1.
5．答案：D
解析：因为z＝cseq \f(π,15)＋isineq \f(π,15)是方程x5＋α＝0的一个根，
所以α＝－x5＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,15)＋isin\f(π,15)))5
＝－cseq \f(π,3)－isineq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i.
6．答案：B
解析：因为eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(2i,2)＝i，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n＝in为实数，所以n的最小值为2.
7．答案：eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))
解析：将z＝1＋i代入eq \f(z2－3z＋6,z＋1)，得
原式＝eq \f((1＋i)2－3(1＋i)＋6,1＋i＋1)＝eq \f(3－i,2＋i)＝1－i
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).
8．答案：eq \f(π,4) 2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
解析：因为复数2＋2i对应的点在第一象限，
所以arg(2＋2i)＝eq \f(π,4)，
所以对应的三角形式为2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4))).
9．答案：eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
解析：∵(1＋i)z＝i，
∴z＝eq \f(i,1＋i)＝eq \f(i(1－i),2)＝eq \f(1,2)(1＋i)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4))).
10．解析：(1)ai＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))(a≥0),－a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))(a<0)))
(2)tan θ＋ieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<θ<π))
＝－eq \f(1,cs θ)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))))
(3)－eq \r(3)(sin θ－ics θ)
＝eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))))
学科素养升级练
1．答案：BD
解析：－i＝cseq \f(3π,2)＋isineq \f(3π,2)
∴－i的立方根为cseq \f(\f(3π,2)＋2kπ,3)＋isineq \f(\f(3π,2)＋2kπ,3)(其中，k＝0,1,2)．
当k＝0时，得cseq \f(π,2)＋isineq \f(π,2)＝i.
当k＝1时，得cseq \f(7π,6)＋isineq \f(7π,6)＝－ eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i.
当k＝2时，得cseq \f(11π,6)＋isineq \f(11π,6)＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i.
故选BD.
2．答案：2eq \r(3)－2i 4
解析：2÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))))＝2(cs 0＋isin 0)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))))
＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))))＝2eq \r(3)－2i，
则|z|＝|2eq \r(3)－2i|＝eq \r((2\r(3))2＋(－2)2)＝eq \r(16)＝4.
3．解析：∵z1＝eq \r(3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
z2＝1－i＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))，
∴待求式＝
eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))))3,i8·i·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)－ics\f(π,12))))
＝eq \f(4\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(21π,4)＋isin\f(21π,4))),cs\f(π,12)＋isin\f(π,12))
＝4eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(21π,4)－\f(π,12)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(21π,4)－\f(π,12)))))
＝4eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5π＋\f(π,3)))))
＝－2eq \r(2)－2eq \r(6)i.必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
复数的三角形式
知识点二
复数三角形式的乘法运算
知识点三
复数三角形式的除法运算
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层