数学必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法综合训练题

这是一份数学必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法综合训练题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq \(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，则z2＋eq \(z,\s\up6(－))2的虚部为( )
A．0B．－1
C．1D．－2
2．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为( )
A．4B．－1
C．6D．－1或6
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于( )
A．3－4iB．3＋4i
C．4－3iD．4＋3i
4．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．若z＝1＋2i，则eq \f(4i,z\(z,\s\up6(－))－1)等于( )
A．1B．－1
C．iD．－i
6．复数z满足z(eq \(z,\s\up6(－))＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于( )
A．1＋i或－2＋iB．i或1＋i
C．i或－1＋iD．－1－i或－2＋i
二、填空题
7．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，则a＝________，b＝________.
8．i是虚数单位，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1－i)))2018＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))6＝________.
9．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝eq \f(z,2＋i)，且|ω|＝5eq \r(2)，则ω＝________.
三、解答题
10．(探究题)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
11．计算：(1)eq \f((2＋2i)4,(1－\r(3)i)5)；
(2)eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))2018＋eq \f((4－8i)2－(－4＋8i)2,\r(11)－\r(7)i).
1．(多选)已知i为虚数单位，a∈R，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3i,1－2i)))＝eq \r(5)，则a等于( )
A．－4B．－3
C．3D．4
2．复数z＝－eq \f(2,1＋\r(3)i)，则1＋z＋z2＝________.
3．已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.
(1)当a＝1时，求z1·eq \(z,\s\up6(－))2的值；
(2)若z1－z2是纯虚数，求a的值；
(3)若eq \f(z1,z2)在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
4．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z.
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
5．已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cs2θ＋ics2θ，其中θ∈(0，π)，设eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝eq \f(1,2)x上，求θ的值．
习题课(范围：10.1～10.3)
关键能力综合练
1．答案：A
解析：因为z＝1＋i，所以eq \(z,\s\up6(－))＝1－i，
所以z2＋eq \(z,\s\up6(－))2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.
2．答案：B
解析：由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，
根据两个复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m＝4，,m2＝5m＋6，))
解得m＝－1.
3．答案：A
解析：∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
4．答案：D
解析：z＝eq \f((1＋i)2,－1＋i)＝eq \f(2i(－1－i),(－1＋i)(－1－i))＝eq \f(2i(－1－i),2)＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．
5．答案：C
解析：eq \f(4i,z\(z,\s\up6(－))－1)＝eq \f(4i,12＋22－1)＝i.
6．答案：C
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由z(eq \(z,\s\up6(－))＋1)＝1＋i得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，
所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.
故z＝i或z＝－1＋i.
7．答案：－3 －10
解析：∵eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝4＋a，,－4＝6＋b，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－10.))
8．答案：－1＋i
解析：原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1－i)))2))1 009＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,－2i)))1 009＋i6＝i1 009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
9．答案：±(7－i)
解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝eq \f(ki,(2＋i)(1＋3i)).
∵|ω|＝5eq \r(2)，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
10．解析：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg(m2－2m－2)＝0，,m2＋3m＋2≠0，))得m＝3.
∴当m＝3时，z是纯虚数．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，))得m＝－1或m＝－2.
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg(m2－2m－2)<0，,m2＋3m＋2>0，))
得－1∴当－111．解析：(1)原式＝eq \f(16(1＋i)4,(1－\r(3)i)4(1－\r(3)i))
＝eq \f(16(2i)2,(－2－2\r(3)i)2(1－\r(3)i))
＝eq \f(－16,(1＋\r(3)i)×4)
＝eq \f(－4,1＋\r(3)i)＝－1＋eq \r(3)i.
(2)原式＝eq \f(i(1＋2\r(3)i),1＋2\r(3)i)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))2))1 009＋eq \f((4－8i＋8i－4)(4－8i＋4－8i),\r(11)－\r(7)i)
＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
学科素养升级练
1．答案：AD
解析：eq \f(a＋3i,1－2i)＝eq \f((a＋3i)(1＋2i),(1－2i)(1＋2i))＝eq \f(a－6＋(3＋2a)i,5)＝eq \f(a－6,5)＋eq \f(3＋2a,5)i
∴ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－6,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋2a,5)))2)＝eq \r(5)
整理得5a2＝80，即a＝±4，故选AD.
2．答案：0
解析：z＝－eq \f(2,1＋\r(3)i)＝eq \f(－2(1－\r(3)i),(1＋\r(3)i)(1－\r(3)i))＝－eq \f(1－\r(3)i,2)
＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
∴1＋z＋z2＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2
＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i＋eq \f(－1－\r(3)i,2)＝0.
3．答案：(1)2i (2)1 (3)(－1,1)
解析：(1)由题意z1·eq \(z,\s\up6(－))2＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i；
(2)由题意z1－z2＝(a－1)＋2i为纯虚数，则a－1＝0，所以a＝1；
(3)eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋i,1－i)＝eq \f((a＋i)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq \f(a＋ai＋i＋i2,2)＝eq \f(a－1,2)＋eq \f(a＋1,2)i，对应点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2)))，它是第二象限点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)<0,\f(a＋1,2)>0))，解得－14．解析：(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，
设D的坐标为(x，y)，由于eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，
∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
则3＋2i＋3－2i＝eq \f(p,2)，(3＋2i)·(3－2i)＝eq \f(q,2)，
即p＝12，q＝26.
5．解析：(1)由题意得z＝z2－z1＝－cs2θ－sin2θ＋(cs 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝eq \f(1,2)x上，得－2sin2θ＝－eq \f(1,2)，
∴sin2θ＝eq \f(1,4)，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝eq \f(1,2)，∴θ＝eq \f(π,6)或θ＝eq \f(5π,6).
关键能力综合练
学科素养升级练