人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法单元测试课时练习

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法单元测试课时练习，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．i是虚数单位，复数eq \f(7－i,3＋i)等于( )

A．2＋iB．2－iC.－2＋iD．－2－i
2．复数i3(1＋i)2等于( )
A．2B．－2C．2iD．－2i
3．复数z＝eq \f(i,1＋i)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3i
5．当z＝－eq \f(1－i,\r(2))时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
6．已知复数z＝1－i，则eq \f(z2－2z,z－1)等于( )
A．2iB．－2iC．2D．－2
7．已知i为虚数单位，若复数z＝eq \f(1－ai,1＋i)(a∈R)的虚部为－3，则|z|等于( )
A.eq \r(10)B．2eq \r(3)C.eq \r(13)D．5
8．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为( )
A．－eq \f(4,3)B.eq \f(4,3)C．－eq \f(3,4)D.eq \f(3,4)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．设z＝－3＋2i，则在复平面内eq \(z,\s\up6(－))对应的点不可能位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论不正确的是( )
A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数
C.eq \(z,\s\up6(－))对应的点在实轴的下方D．z一定为实数
11．下面关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个说法中，正确的有( )
A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1
12．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A．若|z1－z2|＝0，则eq \x\t(z1)＝eq \x\t(z2)B．若z1＝eq \x\t(z2)，则eq \x\t(z1)＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq \x\t(z1)＝z2·eq \x\t(z2)D．若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．
14．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为__________．
15．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))所对应的向量互相垂直，则a＝________.
16．已知复数z1＝csθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝eq \f(15－5i,(2＋i)2).求：(1)z1z2；(2)eq \f(z1,z2).
18．(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量eq \(AC,\s\up6(→))表示的复数是－2－4i，向量eq \(BC,\s\up6(→))表示的复数是－4－i，求B点对应的复数．
19．(12分)已知复数z满足(1＋2i)eq \(z,\s\up6(－))＝4＋3i.
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
20．(12分)已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且eq \(z,\s\up6(－))·(3＋i)为纯虚数(eq \(z,\s\up6(－))是z的共轭复数)．
(1)设复数z1＝eq \f(m＋2i,1－i)，求|z1|；
(2)设复数z2＝eq \f(a－i2021,z)，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
21．(12分)设虚数z满足|2z＋15|＝eq \r(3)|eq \(z,\s\up6(－))＋10|.
(1)求|z|；
(2)若eq \f(z,a)＋eq \f(a,z)是实数，求实数a的值．
22．(12分)已知复数z满足|z|＝eq \r(2)，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
第十章单元测试
1．答案：B
解析：eq \f(7－i,3＋i)＝eq \f((7－i)(3－i),10)＝eq \f(20－10i,10)＝2－i.
2．答案：A
解析：i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.
3．答案：A
解析：z＝eq \f(i,1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，对应点在第一象限．
4．答案：D
解析：在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.
5．答案：D
解析：z2＝eq \f((1－i)2,2)＝－i，
则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.
6．答案：B
解析：∵z＝1－i，
∴eq \f(z2－2z,z－1)＝eq \f(－2i－2＋2i,1－i－1)＝eq \f(－2,－i)＝－2i.
7．答案：C
解析：因为z＝eq \f(1－ai,1＋i)＝eq \f((1－ai)(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq \f(1－a－(a＋1)i,2)＝eq \f(1－a,2)－eq \f(a＋1,2)i，所以－eq \f(a＋1,2)＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝eq \r((－2)2＋(－3)2)＝eq \r(13).
8．答案：D
解析：因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，
所以2－m＝3m－1，即m＝eq \f(3,4).经检验，m＝eq \f(3,4)能使2－m＝3m－1>0，
所以m＝eq \f(3,4)满足题意．
9．答案：ABD
解析：由z＝－3＋2i，得eq \(z,\s\up6(－))＝－3－2i，对应点(－3，－2)位于第三象限．
10．答案：ABD
解析：∵2t2＋5t－3＝(2t－1)(t＋3)，
∴2t2＋5t－3的符号可正、可负、可为0，
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴不正确的有A，B，D.
11．答案：BD
解析：∵z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2(－1－i),(－1＋i)(－1－i))＝－1－i，
∴|z|＝eq \r(2)，A不正确；
z2＝(－1－i)2＝2i，B正确；
z的共轭复数为－1＋i，C不正确；
z的虚部为－1，D正确．
12．答案：ABC
解析：对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq \x\t(z1)＝eq \x\t(z2)；
对于B，若z1＝eq \x\t(z2)则z1和z2互为共轭复数，所以eq \x\t(z1)＝z2；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则eq \r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1))＝eq \r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2))，z1·eq \x\t(z1)＝aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)，z2·eq \x\t(z2)＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)，所以z1·eq \x\t(z1)＝z2·eq \x\t(z2)；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，
而zeq \\al(2,1)＝1，zeq \\al(2,2)＝－1，所以zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)不正确．
13．答案：2eq \r(5)
解析：由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，
由两点间的距离公式得，
d＝eq \r((3－1)2＋(－5＋1)2)＝2eq \r(5).
14．答案：1
解析：因为(1＋i)z＝2，
所以z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，
所以其实部为1.
15．答案：±1
解析：eq \(z,\s\up6(－))＝a－i，因为复数z与它的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.
16．答案：eq \f(3,2)
解析：z1·z2＝(cs θ－i)·(sin θ＋i)
＝(cs θsin θ＋1)＋i(cs θ－sin θ)
实部cs θsin θ＋1＝1＋eq \f(1,2)sin 2θ≤eq \f(3,2)，最大值为eq \f(3,2).
17．解析：z2＝eq \f(15－5i,(2＋i)2)＝eq \f(15－5i,3＋4i)＝eq \f((15－5i)(3－4i),(3＋4i)(3－4i))
＝eq \f(25－75i,25)＝1－3i，
则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(2－3i,1－3i)＝eq \f((2－3i)(1＋3i),(1－3i)(1＋3i))
＝eq \f(11＋3i,10)＝eq \f(11,10)＋eq \f(3,10)i.
18．解析：∵eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数是2＋4i，eq \(CB,\s\up6(→))表示的复数是4＋i，
∴eq \(AB,\s\up6(→))表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，
故eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，
∴B点对应的复数为zB＝5－2i.
19．解析：(1)∵(1＋2i)eq \(z,\s\up6(－))＝4＋3i，
∴eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(4＋3i,1＋2i)＝eq \f((4＋3i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq \f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.
(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－(a＋1)2>0，,4(a＋1)>0，)) 解得－1即实数a的取值范围为(－1,1)．
20．解析：∵z＝1＋mi，∴eq \(z,\s\up6(－))＝1－mi.
eq \(z,\s\up6(－))·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，
又∵eq \(z,\s\up6(－))·(3＋i)为纯虚数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋m＝0,1－3m≠0))，解得m＝－3.∴z＝1－3i.
(1)z1＝eq \f(－3＋2i,1－i)＝－eq \f(5,2)－eq \f(1,2)i，
∴|z1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(26),2).
(2)∵z＝1－3i，i2 021＝i·i2 020＝i，
∴z2＝eq \f(a－i,1－3i)＝eq \f((a－i)(1＋3i),(1－3i)(1＋3i))＝eq \f((a＋3)＋(3a－1)i,10)，又∵复数z2所对应的点在第四象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,10)>0，,\f(3a－1,10)<0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－3，,a<\f(1,3)))∴实数a的取值范围是－321．解析：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
代入|2z＋15|＝eq \r(3)|eq \(z,\s\up6(－))＋10|，得
|2x＋2yi＋15|＝eq \r(3)|x－yi＋10|，
整理得x2＋y2＝75，即|z|＝eq \r(x2＋y2)＝5eq \r(3).
(2)eq \f(z,a)＋eq \f(a,z)＝eq \f(x＋yi,a)＋eq \f(a,x＋yi)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,a)＋\f(ax,x2＋y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,a)－\f(ay,x2＋y2)))i.
∵eq \f(z,a)＋eq \f(a,z)为实数，∴eq \f(y,a)－eq \f(ay,x2＋y2)＝0.
∵y≠0，∴eq \f(1,a)－eq \f(a,x2＋y2)＝0，
∴a2＝x2＋y2＝75，a＝±5eq \r(3).
22．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|×1＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|×1＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.