数学必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱复习练习题

这是一份数学必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱复习练习题，共16页。试卷主要包含了下列关于棱柱的说法等内容，欢迎下载使用。
11.1.3　多面体与棱柱  必备知识基础练进阶训练第一层  知识点一多面体相关概念 1．如图所示的多面体中，底面ABCDE为正五边形，回答下列问题：(1)写出多面体的体对角线；(2)指出多面体的顶点数V、棱数E、面数F，以及它们满足的关系式；(3)写出与棱AB异面的棱；(4)写出AB与平面BCC1B1的位置关系，并用符号表示．        2．如图所示的多面体，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DP＝BE＝1，△APE，△PEC都为等边三角形．(1)写出直线AB与平面PAD，平面EBC与平面ABE的位置关系，并用符号表示；(2)求这个多面体的表面积．        知识点二棱柱的结构特征3.下列说法正确的是(　　)A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形4．下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确的说法的序号是________．5．如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．           知识点三棱柱的有关计算6.如图所示，在长方体中，AB＝2cm，AD＝4cm，AA′＝3cm.求：(1)这个长方体的表面积；(2)体对角线BD′的长；(3)在长方体表面上连接A、C′两点的所有曲线的长度的最小值．        7．如图所示，直平行六面体ABCD­A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，边长为2cm，∠ABC＝120°，高AA1＝6cm.求：(1)体对角线AC1的长；(2)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点A1，那么所用细线最短需要多长？                    关键能力综合练进阶训练第二层  一、选择题1．下列几何体中棱柱有(　　)A．5个B．4个　C．3个D．2个2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　)A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定3．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE相交C．AE与B1C1是异面直线D．AE与平面A1B1C1相交4．如图，①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为(　　)A．模块①②⑤B．模块①③⑤C．模块②④⑤D．模块③④⑤5．(探究题)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　)A．1B．2C．快D．乐6．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的表面积等于(　　)A．2B．4C．10D．6二、填空题7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.8．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________条．9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，与面对角线BC1所在的直线异面的棱有________________________；在长方体的六个面中，与BC1相交的平面有__________________________． 三、解答题10．底面ABCD为菱形的直棱柱ABCD­A1B1C1D1，其底面对角线AC，BD的长分别为2和2，高AA1的长为3，求：(1)这个棱柱的体对角线长AC1，BD1；(2)这个棱柱的表面积．            学科素养升级练进阶训练第三层  1．(多选)正方体截面的形状有可能为(　　)A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝2，CC1＝4，∠ABC＝90°，E、F分别是AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径的长度为________．3．(学科素养——运算能力)如图是棱长都为1的直平行六面体ABCD­A1B1C1D1，且∠DAB＝60°.(1)写出直线AB与直线CC1，直线AC1与平面ABCD，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的位置关系；(2)求这个直平行六面体的表面积；(3)求线段AC1的长．       11．1.3　多面体与棱柱必备知识基础练1．解析：(1)体对角线有AC1，AD1，BD1，BE1，CE1，CA1，DA1，DB1，EB1，EC1；(2)顶点数V＝10，棱数E＝15，面数F＝7，满足V＋F－E＝2；(3)与棱AB异面的棱有CC1，DD1，EE1，B1C1，C1D1，A1E1，D1E1；(4)AB与平面BCC1B1的相交于点B，即AB∩平面BCC1B1＝B.2．解析：(1)直线AB与平面PAD相交于点A，即AB∩平面PAD＝A；平面EBC与平面ABE相交于BE，即平面EBC∩平面ABE＝BE.(2)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因为四边形ABCD是边长为1的正方形，且DP＝1，所以S四边形ABCD＝1，S△PAD＝S△PDC＝，因为△APE，△PEC都为等边三角形，且PA＝PC＝，所以S△APE＝S△PEC＝××＝.因为在△ABE，△BCE中，且AB＝BC＝BE＝1，AE＝EC＝，所以BE⊥AB，BE⊥BC，所以S△ABE＝S△BCE＝，所以表面积为1＋×4＋×2＝3＋.3．答案：D解析：选项A，B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确．4．答案：③④解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是③④.5．解析：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M ­ CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1­DCND1.6．解析：(1)底面ABCD的面积为2×4＝8 cm2，侧面BCC′B′的面积为4×3＝12 cm2，侧面ABB′A′的面积为2×3＝6 cm2，所以表面积为(8＋12＋6)×2＝52 cm2.(2)因为DD′⊥底面ABCD，所以DD′⊥BD.在Rt△ABD中，BD2＝22＋42＝20，在△BDD′中，DD′＝3，由勾股定理得，BD′＝.(3)将长方体的表面展开为平面图形，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下面所示的三个图中，从而连接AC′的诸曲线中长度最小的为 cm(如图乙所示)．7．解析：(1)连接AC，AC1，则CC1⊥AC，又AC＝2，CC1＝6，所以AC1＝4 cm.(2)如图，将直平行六面体展开，连接AA1′，因为AA′＝8 cm，AA1＝6 cm，根据两点之间线段最短，AA1′＝＝10 cm.所以所用细线最短需要10 cm.关键能力综合练1．答案：D　解析：由棱柱定义知，①③为棱柱．2．答案：A　解析：如图，∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．3．答案：C解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE⊂平面ABC，平面ABC∥平面A1B1C1，所以AE∩平面ABC＝∅，所以AE∥平面A1B1C1，D错误．4．答案：A5．答案：B　解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.6．答案：C　解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则c＝1，ab＝2，·c＝，∴a＝2，b＝1，故长方体的表面积S＝2(ac＋bc＋ab)＝10.7．答案：12解析：因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm)．8．答案：6　解析：如图，所得截面为六边形．9．答案：AD，CD，AA1，DD1，A1B1，A1D1　平面ABCD，平面A1B1C1D1，平面ABB1A1，平面DCC1D1解析：由异面直线的定义知，与BC1所在的直线异面的棱有AD，CD，AA1，DD1，A1B1，A1D1；由图观察得，在长方体的六个面中，与BC1相交的平面有平面ABCD，平面A1B1C1D1，平面ABB1A1，平面DCC1D1.10．解析：(1)∵CC1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，∴CC1⊥AC，DD1⊥BD，∴AC1＝＝，BD1＝＝.(2)设该棱柱的底面边长为a，由题意得a＝＝2，∴S棱柱表＝2S底＋S侧＝2×2××1×2＋4a×3＝4＋24.∴该棱柱的表面积为24＋4.学科素养升级练1．答案：ABD解析：画出截面图形如图，可以画出正三角形但不是直角三角形(如图1)；可以画出正方形(如图2)；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形(如图3)；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形(如图4)．故选ABD.2．答案：3解析：因为E、F两点分别在AA1，C1B1上，所以展开后的图形中必有AA1、C1B1，故展开方式有以下四种：①沿CC1将平面ACC1A1和平面BCC1B1展开至同一平面，如图(1)，EF2＝22＋(4＋)2＝22＋8；②沿B1B将平面A1ABB1和平面BCC1B1展开至同一平面，如图(2)，EF2＝22＋(3)2＝22；③沿A1B1将平面A1ABB1和平面A1B1C1展开至同一平面，如图(3)，EF2＝(2)2＋(2＋)2＝14＋4；④沿A1C1将平面ACC1A1和平面A1B1C1展开至同一平面，如图(4)，EF2＝32＋32＝18.经比较可得，EF的最小值为3.3．解析：(1)直线AB与直线CC1异面，直线AC1∩平面ABCD＝A，平面ABCD∥平面A1B1C1D1.(2)底面ABCD是如图所示的菱形，由已知可得：BD＝1，AC＝， 因此该底面的面积为×1×＝.又因为每个侧面的面积为1，所以表面积为＋4.(3)因为是直平行六面体，所以CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥AC. 在Rt△ACC1中，由AC＝，CC1＝1，∴AC1＝2.