高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定课后复习题

课后素养落实(七)　全称量词命题与存在量词命题的否定

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|>0　　 B．∃x∈R，|x|>0

C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0

C　[由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．]

2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是(　　)

A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0

D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0

D　[存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D．]

3．(多选题)针对我校某次考试有关的命题p：所有理科学生都会做第1题，那么对命题p的否定正确的是(　　)

A．所有理科学生都不会做第1题

B．存在一个理科学生不会做第1题

C．存在一个理科学生会做第1题

D．至少有一个理科学生不会做第1题

BD　[由命题的否定可知，对命题p进行否定，选项BD都正确．]

4．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为(　　)

A．存在一个三角形，内角和等于180°

B．任意三角形，内角和都等于180°

C．任意三角形，内角和都不等于180°

D．很多三角形，内角和不等于180°

B　[存在一个三角形，内角和不等于180°的否定为：任意三角形，内角和都等于180°.故选B．]

5．若命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为(　　)

A．∃a＜0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解

B．∃a＜0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解

C．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解

D．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解

C　[先否量词，后否结论，则¬p：∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解．]

二、填空题

6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0　[存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．]

7．若命题“∃x＜2 021，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[2 021，＋∞)　[由于命题“∃x＜2 021，x＞a”是假命题， 因此其否定“∀x＜2 021，x≤a”是真命题，所以a≥2 021．]

8．命题“有的有理数没有倒数”的否定是____________，否定后的命题是____________命题(填“真”或“假”)．

任意的有理数都有倒数　假　[因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题的否定为：任意的有理数都有倒数.0没有倒数．]

三、解答题

9．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)非负数的平方是正数；

(3)有的四边形没有外接圆；

(4)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3；

(5)∀x∈Z，x2与3的和不等于0.

[解]　(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题．

(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．

(3)命题的否定：“所有的四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．

(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有x＋y≠3”．

因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，

所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．

(5)命题的否定：“∃x∈Z，x2与3的和等于0”．是假命题．

10．命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．

(1)写出命题p的否定；

(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？

[解]　(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0.

(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组

的解集不为空集．

通过画数轴(图略)可看出，a，b应满足的条件是b＜a.

1．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)

A．p：所有四边形的内角和都是360°

B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数

D．s：对所有实数a，都有|a|＞0

BD　[A．¬p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．

B．¬q：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0恒成立．

C．¬r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．

D．¬s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．]

2．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2

D　[先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D．]

3．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为____________，此命题的否定是____________，否定后的命题是________命题(填“真”或“假”)．

∃x，y∈R，x＋y＞1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假　[此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题．]

4．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．

1　[由题意知原命题的否定是真命题，即∀x∈R，都有x2＋2x＋m＞0是真命题．由Δ＝4－4m＜0，得m＞1，∴a＝1．]

已知命题p：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：∃x0∈R，ax－2ax0－3＞0，若p假q真，求实数a的取值范围．

[解]　因为命题p是假命题，所以¬p：∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，则(a－1)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.

因为命题q：∃x0∈R，ax－2ax0－3＞0是真命题．

所以当a＝0时，－3＜0，不合题意；

当a＜0时，(－2a)2＋12a＞0，所以a＜－3.

当a＞0时，函数y＝ax2－2ax－3的图像开口向上，一定存在满足条件的x0.故a＜－3或a＞0.

综上，a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).