高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第1课时达标测试

课后素养落实(八)　充分条件与必要条件

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

A　[两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数”⇒“a＋b是偶数”，“a＋b是偶数”“a和b都是奇数”．所以“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的充分条件．]

2．已知p：＞0，q：xy＞0，则p是q的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

C　[若＞0，则x与y同号，所以xy＞0，所以p⇒q；

若xy＞0，则x与y同号，所以＞0，所以q⇒p；

所以p是q的充分条件也是必要条件．]

3．设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　)

A．x＞3　　　B．x＜3　　　C．x＞4　　　D．x＜4

C　[因为x＞4⇒x＞3.14，所以x＞3.14的一个充分条件是x＞4.]

4．使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　)

A．x＜0 B．x≥0或x≤－1

C．x＞0 D．x≤－1

B　[因为|x|＝x⇒x≥0⇒x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一个必要条件是x≥0或x≤－1．]

5．“a＜b，b＜0”的一个必要条件是(　　)

A．a＋b＜0 B．a－b＞0

C．＞1 D．＜－1

A　[因为a＜b，b＜0⇒a＜0，b＜0⇒a＋b＜0，所以“a＋b＜0”是“a＜b，b＜0”的一个必要条件．]

二、填空题

6．有下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1．其中可以成为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．

②③④　[由x2＜1，得－1＜x＜1．故②③④都可作为x2＜1的充分条件．]

7．设a∈R，则“a<1”是“a2<1”成立的________条件．(填“充分”或“必要”)

必要　[由“a<1”推不出“a2<1”，而由“a2<1”能推出“a<1”，故“a<1”是“a2<1”成立的必要条件．]

8．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是 q的充分条件，则a的取值范围是________．

(－∞，1]　[p：x＞1，若p是q的充分条件，则p⊆q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1．]

三、解答题

9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(用充分，必要作答)．

(1)p：x2＞0，q：x＞0；

(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；

(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；

(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．

[解]　(1)p：x2＞0，则x＞0，或x＜0，q：x＞0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

10．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？

(1)若x＞2，则|x|＞1；

(2)若x＜3，则x2＜4；

(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等；

(4)若A∩B＝A，则∁UB⊆∁UA．

[解]　(1)若x＞2，则|x|＞1成立，反之当x＝－2时，满足|x|＞1但x＞2不成立，即p是q的充分条件．

(2)若x＜3，则x2＜4不一定成立，反之若x2＜4，则－2＜x＜2，则x＜3成立，即p是q的必要条件．

(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分也不必要条件．

(4)画出维恩图(如图)，

结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，

反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．

1．(多选题)有以下说法，其中正确的为(　　)

A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件

B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”的必要条件

C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件

D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件

ACD　[A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；

B不正确．因为“x∈A”“x∈(A∩B)”，所以“x∈(A∩B)”不是“x∈A”的必要条件；

C正确．由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确．由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．]

2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　)

A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件

D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件

B　[x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件．]

3．给出下列四个条件：①a＞0，b＞0；②a＜0，b＜0；③a＝3，b＝－2；④a＞0，b＜0且|a|＞|b|，其中________是a＋b＞0的充分条件．(填序号)

①③④　[问题是“谁”是“a＋b＞0”的充分条件，即为“谁”⇒a＋b＞0.

①a＞0，b＞0⇒a＋b＞0；②a＜0，b＜0a＋b＞0；③a＝3，b＝－2⇒a＋b＞0；④a＞0，b＜0且|a|＞|b|⇒a＋b＞0.]

4．用“充分”或“必要”填空：

(1)“x≠3”是“|x|≠3”的________条件．

(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________条件．

(1)必要　(2)充分　[(1)当|x|≠3时，x≠±3，

所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3”⇒“x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件．

(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”“这个自然数能被5整除”“这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件．]

已知a，b是实数，且ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充分条件是a＋b＝1，该条件是否是必要条件？证明你的结论．

[证明]　若a＋b＝1，即b＝1－a，

a3＋b3＋ab－a2－b2

＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2

＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.所以a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充分条件．

a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的必要条件，

证明如下：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，

因为a2－ab＋b2＝＋b2＞0.

所以a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1．