人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时随堂练习题

课后素养落实(二十二)　函数的平均变化率

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知A(1,2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三点在同一条直线上，则m＝(　　)

A． B．3

C． D．4

C　[∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，解得m＝.故选C．]

2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是(　　)

A．0 B．1

C．3 D．Δx

A　[＝＝0.故选A．]

3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于(　　)

A．6＋Δt B．12＋Δt＋

C．12＋2Δt D．12

C　[＝＝12＋2Δt.故选C．]

4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝(　　)

A．－3 B．2

C．3 D．－2

C　[根据平均变化率的定义，可知

＝＝a＝3，故选C．]

5．函数f(x)＝从1到a的平均变化率为，则实数a的值为(　　)

A．10 B．9

C．8 D．7

B　[f(x)＝从1到a的平均变化率为＝＝＝，解得a＝9，故选B．]

二、填空题

6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．

3－Δx　[＝

＝3－Δx.]

7．如图是函数y＝f(x)的图像．

(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；

(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

(1)　(2)　[(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.

(2)由函数f(x)的图像知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.]

8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．

6x0＋3Δx　12.3　[函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

＝

＝＝6x0＋3Δx.

当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.]

三、解答题

9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．

[解]　设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝，

＝＝－.

∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴＝－＞0，

∴g(x)＝(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．

10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．

(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

(2)求该函数的最大值和最小值．

[解]　(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．

证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝，

所以＝＝.

因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，

所以＝＞0，

所以f(x)＝在[3,5]上是增函数．

(2)f(x)min＝f(3)＝＝，

f(x)max＝f(5)＝＝.

1．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝(　　)

A．3　　　　　　　 B．－3

C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3

D　[∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，

∴＝＝－3－Δx，故选D．]

 2.(多选题)下列各选项正确的有(　　)

A．若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数

B．函数y＝x2在R上是增函数

C．函数y＝－在定义域上不是增函数

D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]

CD　[A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．]

3．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．

－　[∵Δy＝－

＝－＝＝，

∴＝＝，

即k＝＝－.

∴当Δx＝1时，k＝－＝－.]

4．若函数f(x)＝x2由x＝1至x＝1＋Δx的平均变化率的取值范围是(2,2.025)，则Δx的取值范围为________．

(0,0.025)　[∵x由x＝1至x＝1＋Δx时，Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx＋1)2－12＝(Δx)2＋2Δx，∴f(x)由x＝1至x＝1＋Δx的平均变化率为＝Δx＋2.∵Δx＋2∈(2,2.025)，∴Δx∈(0,0.025)．]

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

[解]　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.

设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，

∴＝＝.

∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，

∴＝＞0，

∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.

(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．

所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，

故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．