数学必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时习题

课后素养落实(二十六)　零点的存在性及其近似值的求法

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)

A．f(x)＝2x＋3　　 B．f(x)＝x2＋2x－6

C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1

C　[因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)＜0，故选C．]

2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　　)

A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点

B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值

C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点

D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

A　[使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．]

3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是(　　)

A．a＜－1 B．a＞1

C．－1＜a＜1 D．0≤a＜1

B　[由题意知f(0)·f(1)＜0，即 (－1)·(2a－2)＜0，∴a＞1．故选B．]

4．函数y＝ f(x)的图像在区间[1,4]上是连续不断的曲线，且 f(1)· f(4)＜0，则函数y＝ f(x)(　　)

A．在(1,4)内有且仅有一个零点

B．在(1,4)内至少有一个零点

C．在(1,4)内至多有一个零点     

D．在(1,4)内不一定有零点

B　[可作出y＝f(x)图像的草图(图略)，知y＝ f(x)在(1,4)内至少有一个零点．故选B．]

5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)

A．1.5 B．1.25

C．1.375  D．1.437 5

D　[由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，即f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D．]

二、填空题

6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

(0,0.5)　f(0.25)　[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．]

7．函数f(x)＝2－(x∈[－1,1])的零点个数为________．

1　[令2－＝0，解得x＝0，∴f(x)在[－1,1]上仅有1个零点．]

8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．

4　[将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]

三、解答题

9．求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间[－2，－1]上存在零点．

[证明]　因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，

f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0，

所以f(－2)·f(－1)＜0.

又函数f(x)的图像在区间[－2，－1]上是连续不间断的，所以函数f(x)在区间[－2，－1]上存在零点．

10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围．

(1)零点均大于1；

(2)一个零点大于1，一个零点小于1；

(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．

[解]　(1)由题可得方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得

解得2≤a＜.

(2)由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.

(3)由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得＜a＜.

1．(多选题)若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中错误的是(　　)

A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点

B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点 

C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0 

D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0

ABC　[函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，

如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，

所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；

函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；

若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0，所以C不正确；

若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确．故选ABC．]

2．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是(　　)

A． B．

C． D．

D　[由于f(0)＜0，f(－2)＜0，f(4)＞0，

f(1)＜0，f＞0，f＜0，

所以零点在区间内．]

3．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

(0,1)　[函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，可转化为函数y＝f(x)与y＝m的图像有三个交点．作出两函数的图像如图所示，

由图知，m的取值范围是(0,1)．]

4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．

2　[(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1．y＝|x2－2x|和y＝a2＋1的图像如图所示，

∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有2个交点．即方程|x2－2x|＝a2＋1有两解．]

已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.

(1)证明a＞0；

(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．

[证明]　(1)∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0，

即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，即a＞c，

∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.

(2)在[0,1]内选取二等分点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.

∵f(0)＞0，f(1)＞0，

∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，

又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.