高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数本章综合与测试精练

微专题强化练(二)　函数性质的综合

[教师用书独具]

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是(　　)

A．增函数

B．减函数

C．非单调函数

D．可能是增函数，也可能是减函数

A　[因为f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)，得(m－1)(－x)2－2mx＋3＝(m－1)x2＋2mx＋3，即m＝0.

所以f(x)＝－x2＋3，所以f(x)在(－5，－2)上是增函数，故选A．]

2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，下列大小关系正确的是(　　)

A．f(1)＞f(2)　　 B．f(1)＞f(－2)

C．f(－1)＞f(－2) D．f(－1)＜f(2)

D　[f(x)在[0，＋∞)上为增函数，所以f(2)＞f(1)，又f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，所以f(2)＞f(－1)，f(－2)＞f(－1)．综上所述，D正确．]

3．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有＜0成立，则(　　)

A．f(3)＜f(－2)＜f(1)

B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(－2)＜f(1)＜f(3)

D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

A　[因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为减函数，所以f(1)＞f(2)＞f(3)，即f(1)＞f(－2)＞f(3)，故选A．]

4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2＋2x，若f(3－2a)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－∞，1)

C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)

B　[当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以由f(3－2a)＞f(a)得3－2a＞a，解得a＜1．]

5．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上(　　)

A．有最大值4 B．有最小值－4

C．有最大值－3 D．有最小值－3

B　[法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知选B．

法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，

由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，

即－3≤－f(x)≤4，

∴－4≤f(x)≤3，

即在区间[－b，－a]上f(x)的最小值为－4，f(x)的最大值为3.]

二、填空题

6．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.

－7　[由题意，函数f(x)在[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为4，最小值为－1，

故f(3)＝－1，f(6)＝4.

∵f(x)是奇函数，

∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7.]

7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．

－3或　[f(x)的对称轴为直线x＝－1．当a＞0时，f(x)的最大值为f(2)＝4，解得a＝；当a＜0时，f(x)的最大值为f(－1)＝4，解得a＝－3.综上，a＝或a＝－3.]

8．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式＞0的解集为________．

(－2,0)∪(2，＋∞)　[由题意知f(－x)＝f(x)，所以f(－2)＝f(2)＝0，又f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以当x＜－2时，f(x)＞0，当－2＜x＜0时，f(x)＜0.由函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于y轴对称可知，当x＞2时，f(x)＞0,0＜x＜2时，f(x)＜0，所以使得＞0成立的x的取值范围是(－2,0)∪(2，＋∞)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝(x>0)．

(1)求证：f(x)在(0,1]上单调递增；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

[解]　(1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝＝.

当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在(0,1]上单调递增．

(2)当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0，

f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．

∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值．

10．已知f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数且f(0)＝2，求f(12)的值．

[解]　因为f(x＋1)为奇函数，

所以有f(x＋1)＝－f(－x＋1)．

令t＝x＋1可得f(t)＝－f(2－t)，

因为函数f(x－1)是偶函数，

所以f(x－1)＝f(－x－1)，

令x－1＝t，则可得f(t)＝f(－t－2)，

因为f(－t－2)＝－f(－t＋2)．

令－t－2＝m，则f(m)＝－f(m＋4)，

f(m＋8)＝f(m)，

所以f(12)＝f(8＋4)＝f(4)＝－f(0)＝－2.

1．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1,2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1] B．[－1,1]

C．(－∞，2] D．[－2,2]

B　[由题意，知f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意的x∈[1,2]恒成立，

∴|a|≤|x|对任意的x∈[1,2]恒成立，

∴|a|≤1，即－1≤a≤1，故选B．]

2．(多选题)已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的值域为[0,1] B．f(x)的定义域为R

C．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)是偶函数

BCD　[根据分段函数的定义域为每段函数定义域的并集可知，函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R，故函数的定义域为R，值域为{1,0}，当x为有理数时，x＋1也为有理数，则f(x＋1)＝f(x)＝1，当x为无理数时，x＋1也为无理数，则f(x＋1)＝f(x)＝0，从而有f(x＋1)＝f(x)；x为有理数时，－x也为有理数，此时f(－x)＝f(x)＝1，当x为无理数时，－x也为无理数，此时f(－x)＝f(x)＝0，故函数f(x)是偶函数正确．]

3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)＜f(m)成立，则实数m的取值范围是________．

1　(0,2)　[由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图像关于直线x＝1对称，又f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以由f(0)＜f(m)，得0＜m＜2，即实数m的取值范围为(0,2)．]

4．若函数f(x)＝x2－2ax＋3图像的对称轴为x＝1，则当x∈[－1,2]时，f(x)的值域为________．

[2,6]　[由对称轴为x＝1得a＝1．

∴f(x)＝x2－2x＋3，

∴f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，∴f(x)∈[2,6]．]

已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x＞1时，f(x)＞0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(1)；

(2)证明：f(x)在定义域上是增函数；

(3)如果f＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．

[解]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.

(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f＝0，

故f＝－f(x)．

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f

＝f.由于＞1，故f＞0，

从而f(x2)＞f(x1)．

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)由于f＝－1，而f＝－f(3)，故f(3)＝1．

在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，

得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，

∴f(x)≥f[9(x－2)]，

由(2)得f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴x≥9x－18，

∴x≤.又∴2＜x≤.

∴x的取值范围是.