高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理当堂检测题

课后素养落实(一)　空间向量及其线性运算

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，N是BC的中点，用a，b，c表示为(　　)

A．－a＋b＋c

B．－a＋b＋c

C．－a－b＋c

D．a－b＋c

A　[∵N是BC的中点，

∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.故选A．]

2．有下列四个命题：

①已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0；

②若两个非零向量与满足＋＝0，则∥；

③若表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；

④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．

其中正确命题的个数是(　　)

A．3 B．2　　　　

C．1　　　　　 D．0

B　[根据向量加法的三角形法则，可得＋＋＋＝0，故①正确；若两个非零向量与满足＋＝0，则与互为相反向量，则∥，故②正确；空间任意两个向量均为共面向量，故③错误；对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故④错误．故正确的命题共有2个，故选B．]

3．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)

A．＝－－

B．＝＋＋

C．＋＋＝0

D．＋＋＋＝0

C　[在C中，由＋＋＝0，得＝－－，则，，为共面向量，即M，A，B，C四点共面；

对于A，由＝－－，得1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面；

对于B，由＝＋＋，得＋＋≠1，所以M，A，B，C四点不共面；

对于D，由＋＋＋＝0，得＝－(＋＋)，其系数和不为1，所以M，A，B，C四点不共面，故选C．]

4．(多选题)有下列命题，其中真命题的有(　　)

A．若∥，则A，B，C，D四点共线

B．若∥，则A，B，C三点共线

C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b

D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0

BCD　[根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错；

因为∥且，有公共点A，所以B正确；

由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D也正确．]

5．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　)

A．　　　　 B．3

C．3 D．2

B　[－＋＝－(－)＝－

＝＋＝＋2＝3.]

二、填空题

6．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为________．

－8　[因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，所以＝λ，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.因为e1，e2是空间中两个不共线的向量，所以所以k＝－8.]

7．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.

2　[由a，c同向，a，b反向知

|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2.]

8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.

1　　[＝＋＝＋＝＋(＋)，∴x＝1，y＝.]

三、解答题

9.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为的所有向量．

[解]　(1)模为1的向量有，，，，，，，，共8个单位向量．

(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为，因此模为的向量为，，，，，，，.

10.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：＋＋，＋＋，并标出化简结果的向量．

[解]　＋＋＝＋＝.

因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，

所以＝，＝.

所以＋＋＝＋＋＝.

故所求向量为，，如图所示．

1．(多选题)下列命题正确的是(　　)

A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面

B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb

C．若＝x＋y，则M，N，A，B四点共面

D．若M，N，A，B四点共面，则＝x＋y

AC　[在A中，若p＝xa＋yb，

则由平面向量基本定理得p与a，b一定在同一平面内，故A正确；

在B中，p与a，b共面，但如果a，b共线，p就不一定能用a，b来表示，故B错误；

在C中，若＝x＋y，则，，三向量在同一平面内，

所以M，N，A，B四点共面，故C正确；

在D中，若M，N，A，B四点共面，其中M，A，B共线，N与M，A，B不共线，则不存在x，y使＝x＋y定成立，故D错误，故选AC．]

2．如图，M是三棱锥P­ABC的底面△ABC的重心，若＝x＋y＋z(x，y，x∈R)，则x＋y＋z的值为(　　)

A．－

B．－

C．

D．1

A　[如图，连接AM，

∵M是三棱锥P­ABC的底面△ABC的重心，

∴＝(＋)，

∴＝＋＝－＋＋，

∵＝x＋y＋z(x，y，x∈R)，

∴x＋y＋z＝－1＋＋＝－.故选A．]

3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.

b－a－c　[＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝b－a－c.]

4.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．

(1)化简－－＝________.

(2)用，，表示，则＝________.

(1)　(2)＋＋　[(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.

(2)因为＝＝(＋)，

所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.]

如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的边AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．

[解]　＝＋＋，①

＝＋＋，②

＝－，＝－.

①＋②得，2＝＋，

即＝＋，故向量与向量，共面．