选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示随堂练习题

课后素养落实(四)　空间直角坐标系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是(　　)

A．关于x轴对称　 B．关于y轴对称

C．关于z轴对称 D．关于原点对称

B　[纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称．]

2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　)

A．(0，，0) B．(0，，)

C．(1,0，) D．(1，，0)

B　[垂足Q的横坐标为0，纵坐标和竖坐标不变，故选B．]

3.如图，在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　)

A．(3,5,4)

B．

C．

D．

C　[由图知B1(3,5,4)，C1(0,5,4)，则P.故选C．]

4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　)

A．　 B．

C．   D．

C　[{，，}为单位正交向量，＝＋＝－＋，∴＝.]

5．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　)

A．(12,14,10) B．(10,12,14)

C．(14,10,12) D．(4,2,3)

A　[＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12,14,10)，

∴点A的坐标为(12,14,10)，故选A．]

二、填空题

6．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．

(4,0，－1)　[线段AB中点的坐标为(4,0，－1)．]

7．点P(1,2，－1)关于y轴对称的点为P′(x，y，z)，则x＋y＋z＝________

2　[点P(1,2，－1)关于y轴对称的点P′的坐标为(－1,2,1)，则x＝－1，y＝2，z＝1，从而x＋y＋z＝2.]

8．三棱锥P­ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量的坐标为________．

　[＝－

＝(＋)－(＋)

＝－，

故＝.]

三、解答题

9．已知三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．

[解]　如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

∵三棱柱各棱长均为1，

∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝.

∵A，B，C均在坐标轴上，

∴A，B，C.

∵点A1与C1在yOz平面内，

∴A1，C1.

∵点B1在xOy平面内的射影为B，且BB1＝1，

∴B1，即各点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1.

10.棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为正交基底，建系如图所示，求下列向量的坐标：

(1)，，；

(2)，，.

[解]　在正交基底{，，}下，

(1)＝＋＋，

＝＋，

＝＋，

∴＝，＝，＝.

(2)＝－＝＋，∴＝；

＝－＝－－，∴＝；＝－＝－，

∴＝.

1．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是(　　)

A．z轴

B．与Oxy平面平行的一直线

C．与Oxy平面垂直的一直线

D．Oxy平面

C　[点(2,2，z)在过点(2,2,0)且垂直于平面Oxy的直线上，故选C．]

2.如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为(　　)

A．(1，－2,1)

B．(1,2,1)

C．(－1，－2,1)

D．(－1，－2，－1)

D　[∵D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，

∴线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，

点M关于y轴的对称点坐标为(－1，－2，－1)，故选D．]

3.如图是一个正方体截下的一角P­ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．

　[∵＝＋＋

＝i＋j＋k，

∴重心G的坐标为.]

4.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________．

　　[由题意可知，BG＝BE＝×＝，

所以AG＝＝，

所以＝－k＝，

＝－＝－j－k＝.]

如图，在正四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c.

(1)用向量a，b，c表示；

(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标．

[解]　(1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，

∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.

(2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)．

∵A(0,0,0)，O，P，∴c＝＝－＝，

∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.