人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步达标检测题

课后素养落实(五)　空间向量运算的坐标表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　)

A．(5，－1,4)　　　 B．(5,1，－4)

C．(－5,1,4) D．(－5，－1,4)

A　[a－b＋4c＝(3,5，－1)－(2,2,3)＋4(1，－1,2)

＝(1,3，－4)＋(4，－4,8)＝(5，－1,4)，故选A．]

2．已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么(　　)

A．a＝3，b＝－3　　 B．a＝6，b＝－1

C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝1

C　[根据题意＝(1，－1,3)，＝(a－1，－2，b＋4)，

∵与共线，∴＝λ，

∴(a－1，－2，b＋4)＝(λ，－λ，3λ)，

∴解得故选C．]

3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

C　[由题意得AB中点M，

由空间两点间的距离公式得

CM＝＝，故选C．]

4．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　　)

A． B．－

C．2 D．±

D　[∵＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，∴·＝(－6)×(－3)＋2＋2k·(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±.]

5．(多选题)已知向量a＝(1,1,0)，则与a共线的单位向量e可以是(　　)

A．   B．

C．(1,1,1)   D．

BD　[因为向量a＝(1,1,0)，所以不妨设与a共线的单位向量e＝(a，a,0)，则|e|＝＝1.解得a＝±，所以与a共线的单位向量为或.故选BD．]

二、填空题

6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.

－1　[∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，

∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]

7．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ＝________.

－　[∵＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1,1)，

∴cos 120°＝＝＝－，可得λ<0，解得λ＝－.]

8．已知空间向量a＝(1，－2,3)，则向量a在坐标平面Oxy上的投影向量是________．

(1，－2,0)　[设＝a＝(1，－2,3)，点A(1，－2,3)在坐标平面Oxy上的投影A′(1，－2,0)，则投影向量为＝(1，－2,0)．]

三、解答题

9.已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求正三棱柱的侧棱长；

(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．

[解]　(1)设正三棱柱的侧棱长为h，

由题意得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,1，h)，

则＝(，1，h)，＝(－，1，h)，

因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0，

所以h＝.

(2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1,0)，

所以·＝－3＋1＝－2.

因为||＝，||＝2，所以cos〈，〉＝＝－.

所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.

10.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1)求AC与PB所成角的余弦值；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．

[解]　(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E，从而＝(，1,0)，＝(，0，－2)．

设与的夹角为θ，则

cos θ＝＝＝.

∴AC与PB所成角的余弦值为.

(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0，z)，则＝，由NE⊥平面PAC可得，

即

化简得∴

即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC．

1．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　)

A．　　　　　 B．

C．4 D．8

A　[设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.

∴sin θ＝.∴以a，b为邻边的平行四边形的面积S＝2××3×3×＝.]

2．已知空间向量a＝(3,0,4)，b＝(－3,2,5)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　)

A．(－3,2,5)   B．(－3,2,5)

C．(3,0,4)   D．(3,0,4)

C　[∵a·b＝3×(－3)＋0×2＋4×5＝11，

|a|2＝32＋02＋42＝25，

∴向量b在向量a上的投影向量c＝a＝(3,0,4)故选C．]

3．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．

(－∞，－2)　[由题意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，

因为θ为钝角，所以cos θ＝<0.

又|a|>0，|b|>0，

所以a·b<0，即2x＋4<0，

所以x<－2.

又a，b不会反向，

所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．]

4．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0，0,0)，点Q在直线OP上运动，·的最小值为________，此时点Q的坐标为________．

－　　[设＝λ＝(λ，λ，2λ)，

故Q(λ，λ，2λ)，

∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

∴·＝6λ2－16λ＋10＝62－，

∴·的最小值为－，此时λ＝，Q点的坐标为.]

在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？

[解]　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M.

又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，

则＝(，1,2)，

＝，

所以||＝2，||＝，

·＝2m－1.

如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.

又cos〈，〉＝

＝.

所以＝±，解得m＝－，

这与0≤m≤2矛盾．

所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.