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选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程同步测试题
展开课后素养落实(十八) 圆的标准方程
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=10
B.(x-1)2+(y-2)2=100
C.(x-1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=25
D [圆心坐标为(1,2),半径r==5,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.]
2.点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.不能确定
C [因为sin230°+cos230°=1>,
所以点在圆外,故选C.]
3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,3)的圆的方程为( )
A.x2+(y-3)2=1 B.x2+(y+3)2=1
C.(x-3)2+y2=1 D.(x+3)2+y2=1
A [设圆心坐标为(0,a),∵圆的半径为1,且过点(1,3),
∴(0-1)2+(a-3)2=1,解得a=3,∴所求圆的方程为x2+(y-3)2=1.]
4.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.{-1,1}
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C [∵点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,
∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.故选C.]
5.圆心在直线x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=5
B.(x-1)2+(y+1)2=
C.(x-1)2+(y+1)2=5
D.(x+1)2+(y-1)2=
A [由题意得圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,所以圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径r=|AM|==.
则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.]
二、填空题
6.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则的最大值为________.
1+ [的几何意义是圆上的点P(x,y)到点(1,1)的距离,因此最大值为+1.]
7.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是________.
(x-2)2+(y+3)2=13 [易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为,因为圆心坐标为(2,-3),所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13.]
8.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为________.
x2+(y+1)2=5 [圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.]
三、解答题
9.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
[解] (1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且直线AD与直线AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.又因为点T(-1,0)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.
(2)由解得所以点A的坐标为(0,-2),
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心.又|AM|==,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
10.已知A(0,1),B(2,1),C(-1,2),能否确定一个圆?若能,判断D(3,4)与该圆的位置关系.
[解] 由于kAB≠kAC,所以三点不共线,则A,B,C三点可以确定一个圆.设经过A,B,C三点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
则解得
所以经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.
把点D的坐标(3,4)代入圆的方程的左边,得(3-1)2+(4-3)2=5.
所以点D在经过A,B,C三点的圆上.所以A,B,C,D四点在同一个圆上,圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
1.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是( )
A. B.
C.- D.-
AD [过P可作圆的两条切线,说明点P在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m)2>1,解得m>或m<-,可知AD可能.]
2.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y+2)2=1
D.(x+1)2+(y-2)2=1
A [由题意可知圆(x+2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-2,1),半径为1,
所以其关于原点对称的圆的圆心坐标为(2,-1),半径为1,
所以所求圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.]
3.已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点到原点的最短距离是________.
1 [由题意可得,圆C的圆心坐标为(2,4-m),半径为1,圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1,即求d=-1的最小值,当m=4时,d最小,dmin=1.]
4.已知A,B两点是圆x2+(y-1)2=4上的两点,若A,B关于直线x+ay-3=0对称,则a=________;若点A,B关于点P(1,2)对称,则直线AB的方程为________.
3 x+y-3=0 [圆x2+(y-1)2=4的圆心C的坐标为(0,1),若A,B关于直线x+ay-3=0对称,则直线经过圆心(0,1),∴a=3.又若圆x2+(y-1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)中心对称,则CP⊥AB,P为AB的中点,∵kCP==1,∴kAB=-1,∴直线AB的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.]
已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值及最小值.
[解] 设P(x,y),
则d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2.
圆心坐标为C(3,4),O为坐标原点,
∴|CO|2=32+42=25,即|CO|=5,
∴(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2,
即16≤x2+y2≤36.
∴d的最小值为2×16+2=34,
最大值为2×36+2=74.
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