高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时同步测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(二十四)　椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为(　　)A．2，　　　B．，2　　　C．4,2　　　D．2，4C　[把3x2＋4y2＝12化成标准形式为＋＝1，得a2＝4，b2＝3，则长轴长为4，短轴长为2.]2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)A． B．  C． D．C　[∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.]3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　)A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1D　[由＋＝1可知，所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．]4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1A　[依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.]5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)A． B．  C． D．A　[以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.]二、填空题6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．　[依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝＝.]7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.4　[将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，所以长轴长为2，短轴长为2，由题意得2＝2×2，解得m＝4.]8．在平面直角坐标系Oxy中，若椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是________．　[由题意知2b＝2c，即b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝，∴e＝.]三、解答题9.如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，|AB|＝8，|BC|＝6，以A，B为焦点的椭圆经过点C．求椭圆的标准方程．[解]　根据题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，|AB|＝8且AB的中点为O，则A的坐标为(－4,0)，B的坐标为(4,0)，即椭圆中c＝4，则a2－b2＝16；又由|BC|＝6，故C的坐标为(4,6)，椭圆经过点C，则有＋＝1；解得：a2＝64，b2＝48，故椭圆的标准方程为＋＝1.10．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．[解]　(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵e＝＝，c＝ ，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，∴所求椭圆的方程为＋＝1.(2)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的方程为＋＝1.1．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(　　)A．长轴长为m＋n＋2RB．焦距为n－mC．短轴长为D．离心率e＝ABD　[由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，2a＝m＋n＋2R.∴2b＝2＝2，e＝，故ABD正确，C不正确．]2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　)A． B．  C． D．D　[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为0<e<1，所以e＝.故选D．]3．椭圆＋＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为________．　[由椭圆＋＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S＝bc，周长为2a＋2c.由题意可得S＝bc＝(2a＋2c)·，得a＋c＝5c，所以e＝＝，因此该椭圆的离心率为.]4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．＋＝1　[0,12]　[因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，则椭圆的方程为＋＝1，所以点A的坐标为(－2,0)，点F的坐标为(－1,0)．设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2.由椭圆的方程，得y2＝3－x2，所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4.因为x∈[－2,2]，所以·∈[0,12]．]设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．[解]　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.