2021学年3.1 椭圆第2课时课时训练

课后素养落实(二十五)　椭圆的标准方程及性质的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)

C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)

B　[由

消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.

若直线与椭圆有两个公共点，

则

解得

由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.

综上可知，m>1且m≠3，故选B．]

2．(多选题)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)

A．　　　B．－　　　C．－　　　D．

AB　[由

得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，

由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，

解得k＝±.]

3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)

A． B． 

C． D．

B　[易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．

由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]

4．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)

A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0

C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0

C　[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，

因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，

弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C．]

5．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m>1 B．m>0

C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5

D　[法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，

所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，

则0<≤1且m≠5，

故m≥1且m≠5.

法二：由

消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.

由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，

即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，

由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.]

二、填空题

6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

　[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得

解得A(0，－2)，B，

∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]

7．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．

2　[由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，

与直线方程x＋y＋4＝0联立，

得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，

由Δ＝0，得a＝，

所以椭圆的长轴长为2.]

8．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．

＋＝1　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，

两式相减得＋＝0，即＋＝0⇔＋××＝0，即a2＝2b2，

又c2＝9，a2＝b2＋c2，解得：a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程是＋＝1.]

三、解答题

9.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求曲线C的标准方程；

(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?

[解]　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，

又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，

所以曲线C的方程是＋＝1.

(2)由于A，B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，

∴设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，

即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里．

设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3，

∴＝3，

∴x＝2，y＝±3，

∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．

10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．

[解]　(1)由题意得

解得c＝，b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由

得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝|x1－x2|

＝

＝，

又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离

d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d

＝，

由＝，

化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.

1．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)

A． B．± 

C． D．±

B　[根据椭圆的离心率为，得＝，

由x0＝b，得y＝b2＝，

所以y0＝±，∴k＝＝±＝±.]

2．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

C　[由题意设椭圆方程为＋＝1，

得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，

由Δ≥0得b2≥4，

所以b2的最小值为4，

由e＝＝，

则b2＝4时，e取最大值，故选C．]

3．已知斜率为2的直线l被椭圆＋＝1截得的弦长为，则直线l的方程为________．

y＝2x±　[设直线l的方程为y＝2x＋m，与椭圆交于A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

消去y并整理得14x2＋12mx＋3(m2－2)＝0，

所以x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2－2)．

由弦长公式得

|AB|＝·

＝·＝，

解得m＝±，

所以直线l的方程为y＝2x±.]

4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．

　[法一：设直线l的方程为y＝x＋t，

由消去y得

＋(x＋t)2＝1，

整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.

∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，

∴－<t<.

设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝.

∴|AB|＝

＝

＝.

当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.

法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，

将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，

故|AB|＝.]

设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．

[解]　(1)依题意知A(a,0)，B(0，－b)，

∵△AOB为直角三角形，∴过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，

∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，

∴椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，

设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，

则直线BM的方程为：y＝－x－1，

由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，

解得：xN＝，yN＝kxN－1，

∴|BN|＝＝

＝|xN|＝·，

在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k,0)，

∴|BM|＝，

在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，

即·＝·，

整理得3k2－2|k|＋1＝0，

解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为.