人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角习题

章末综合测评(一)　排列、组合与二项式定理

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C＋C等于(　　)

A．45　　 B．55

C．65   D．以上都不对

B　[C＋C＝C＋C＝55，故选B．]

2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为(　　)

A．70       B．64

C．58   D．52

C　[从正方体的8个顶点中任取4个，共有C＝70个，正方体有6个面和6个对角面所对应的4个顶点不能组成四面体．故以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有70－12＝58个．]

3．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为(　　)

A．2　　　    B．4　　　  C．8　　　    D．15

D　[x的取值共有4个，y的取值也有4个，则xy共有4×4＝16个积，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15(个)不同值，故选D．]

4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为(　　)

A．CC   B．CA

C．CACA   D．AA

B　[分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女选手中选出2名且与已选好的男选手配对，有A种．故有CA种．]

5．“众志成城，抗击疫情，一方有难，八方支援”，在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，多个省、市都派出了援鄂医疗队．假设某市选派6名医生，3名护士，组成三个医疗小组奔赴湖北甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括2名医生和1名护士，则不同的分配方案有(　　)

A．90种   B．300种

C．540种   D．3 240种

C　[根据题意，分两步进行分析．

第一步，将6名医生分成3组，每组2人，不同的分法有＝15(种)，

再将3名护士分成3组，每组1人，有1种分法，

则医疗小组不同的分法有15×1×A＝90(种)；

第二步，将分好的三组医疗小组分到甲、乙、丙三地，不同的分法有A＝6(种)．

则不同的分配方案有90×6＝540(种)．]

6．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)

A．1 440种   B．960种

C．720种   D．480种

B　[从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．]

7．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为(　　)

A．140   B．240

C．360   D．800

B　[由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C·24，常数项为25．因此原式中x的系数为C·25＋C·24＝240．]

8．如图所示，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共(　　)

A．1 240种   B．360种

C．1 920种   D．264种

C　[由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有CCA种；当五种颜色选择四种时，选法有CC×3×A种；当五种颜色选择三种时，选法有C×2×A种，所以不同的涂色方法共CCA＋CC×3×A＋C×2×A＝1 920种．故选C．]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．的展开式中二项式系数最大的项是(　　)

A．第5项　  B．第6项  C．第7项    D．第8项

BC　[由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]

10．若C＞3C，则m的取值可能是(　　)

A．6    B．7  C．8    D．9

BC　[根据题意，对于C和3C，有0≤m－1≤8且0≤m≤8，则有1≤m≤8，若C＞3C，则有＞3×，变形得m＞27－3m，解得m＞，即＜m≤8，则m＝7或8；故选BC．]

11．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则抽出的3件产品中(　　)

A．至多有1件不合格品的抽法种数为CC

B．都是合格品的抽法种数为C

C．至少有1件不合格品的抽法种数为CC＋CC

D．至少有1件不合格品的抽法种数为C－C

CD　[对于A，分两种情况：①抽出的3件产品都是合格品，抽法种数为C；②抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为CC．所以抽法种数为C＋CC．故A错误，B错误．对于C，分两种情况：①抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为CC；②抽出的3件产品中有2件不合格品，抽法种数为CC．所以抽法种数为CC＋CC．故C正确．对于D，用“排除法”，知抽法种数为C－C．故D正确．]

12．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有(　　)

A．若任意选择三门课程，选法总数为C种

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C种

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C种

AC　[A显然正确；对于B应为CC＋CC种；对于C，用间接法，显然正确；对于D应分三种情况：

①只选物理，则有C种选法；

②只有化学，则有C种选法；

③若物理与化学都选，则有C种选法．

即共有C＋C＋C＝20种选法．

综上可知AC正确，BD错误．]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．

13．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项．

36　[该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．从a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．]

14．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．

64　[每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的报名方案．]

15．2019年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立70周年举行的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志．阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就．装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐．其中空中梯队编有12个梯队，某学校为宣传的需要，要求甲同学从领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为________．

16　[从6个梯队中任选3个的选法有C＝20(种)，不选择舰载机梯队、歼击机梯队的选法有C＝4(种)，故舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个的选法有20－4＝16(种)．]

16．若函数f(x)＝64x6表示为f(x)＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a5＝________，a2＋a4＋a6＝________．(本题第一空2分，第二空3分)

6　31　[64x6＝[1＋(2x－1)]6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，

∴a5＝C＝6，a2＋a4＋a6＝C＋C＋C＝31．]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：

(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；

(2)a6．

[解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1．

(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝C(2x)10－r·(－1)r＝C(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C·(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440．

18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜log2x<3，x∈N＋}，B＝{4,5,6,7,8}．

(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？

(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？

[解]　由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N＋，所以x的取值为3,4,5,6,7，即A＝{3,4,5,6,7}．

(1)易得A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成的三位数有A＝120(个)．

(2)若从集合A中取出的元素是3，则3不能是千位上的数字，满足题意的自然数有C·C·A＝180(个)；

若从集合A中取出的元素不是3，则满足题意的自然数有CCA＝384(个)．

所以满足题意的自然数共有180＋384＝564(个)．

19．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n＋16n－1(n∈N＋)能被16整除．

[证明]　49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1

＝C·48n＋C·48n－1＋…＋C·48＋C＋16n－1

＝16(C·3×48n－1＋C·3×48n－2＋…＋C·3＋n)．

所以49n＋16n－1能被16整除．

20．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．

(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

[解]　(1)将取出4个球分成三类情况：

①取4个红球，没有白球，有C种；

②取3个红球1个白球，有CC种；

③取2个红球2个白球，有CC种，

故有C＋CC＋CC＝115种．

(2)设取x个红球，y个白球，x，y∈N＋，且x∈[0,4]，y∈[0,6]，

则故或或

因此，符合题意的取法共有CC＋CC＋CC＝186种．

21．(本小题满分12分)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N＋．已知a＝2a2a4．

(1)求n的值；

(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N＋，求a2－3b2的值．

[解]　(1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，n∈N＋，

所以a2＝C＝，a3＝C＝，

a4＝C＝．

因为a＝2a2a4，

所以＝

2××．

解得n＝5．

(2)由(1)知，n＝5．

(1＋)n＝(1＋)5＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝a＋b．

法一：因为a，b∈N＋，

所以a＝C＋3C＋9C＝76，

b＝C＋3C＋9C＝44，

从而a2－3b2＝762－3×442＝－32．

法二：(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5

＝C－C＋C()2－C()3＋C()4－C()5．

因为a，b∈N＋，所以(1－)5＝a－b．

因此a2－3b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)5×(1－)5＝(－2)5＝－32．

22．(本小题满分12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．

(1)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？

(2)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？

(3)在组成的五位数中，若从小到大排列，30 124排第几个？

[解]　(1)在组成的五位数中，所有奇数的个数为CCA＝2×3×6＝36．

(2)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数为ACA＝2×3×6＝36．

(3)因为要求在组成的五位数中，从小到大排列，30 124排第几个，则计算出比30 124小的五位数的个数，比30 124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即CA＝2×24＝48，故在组成的五位数中比30 124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30 124排第49个．