数学选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征第2课时精练

课后素养落实(十八)　离散型随机变量的方差

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)

A．0和1　 B．p和p2

C．p和1－p　　   D．p和(1－p)p

D　[由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．]

2．已知随机变量X的分布列为

设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　)

A．   B．

C．   D．

A　[∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，

∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，

∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝．]

3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　　)

A．   B．

C．   D．5

A　[两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～B，

因此D(ξ)＝10××＝．故选A．]

4．某次考试共有12道选择题，每道选择题5分，每道选择题有四个选项且只有一个选项是正确的，学生A对12道选择题中每道题的四个选项都没有把握，最后选择题的总得分为X，学生B对12道选择题中每道题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，最后选择题的总得分为Y，则D(Y)－D(X)的值为(　　)

A．    B．  C．    D．

A　[设学生A答对题的个数为m，则总得分X＝5m，由题可知m～B，D(m)＝12××＝，所以D(X)＝25×＝．同理设学生B答对题的个数为n，则总得分Y＝5n，由题可知n～B，D(n)＝12××＝，所以D(Y)＝25×＝．所以D(Y)－D(X)＝－＝．故选A．]

5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)

A．　　    B．　　 　C．3　　  D．

C　[∵E(X)＝x1＋x2＝．∴x2＝4－2x1，

D(X)＝×＋×＝．

∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3．]

二、填空题

6．一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝________．

0.196　[因为随机变量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196．]

7．随机变量ξ的取值为0,1,2．若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．

　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，

则解得

所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝．]

8．已知随机变量X的分布列如下表：

其中a>0，b>0．且E(X)＝2，则b＝________，D(2X－1)＝________．

　24　[由题意，

解得b＝，a＝6．

所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(6－2)2×＝6，

所以D(2X－1)＝22·D(X)＝24．]

三、解答题

9．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．

(1)求X的分布列、期望及方差；

(2)求Y的分布列、期望及方差．

[解]　(1)X的可能取值为0,1,2．

若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝，同理，有P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝．

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，

D(X)＝×＋×＋×＝＋＋＝．

(2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3．

法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，

P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，

P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，

∴Y的分布列为

E(Y)＝1×＋2×＋3×＝，

D(Y)＝×＋×＋×＝．

法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝，

D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝．

10．某投资公司在2020年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合适的项目，并说明理由．

[解]　对于项目一，该项目年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和，设按该项目投资获利为ζ万元，

则随机变量ζ的分布列为

因此E(ζ)＝300×－150×＝200(万元)，D(ζ)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000．

对于项目二，该项目年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，，设按该项目投资获利为η万元，则随机变量η的分布列为

因此E(η)＝500×＋0×－300×＝200(万元)，D(η)＝(500－200)2×＋(0－200)2×＋(－300－200)2×＝140 000．

故E(ζ)＝E(η)，D(ζ)＜D(η)．

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．

综上所述，建议该公司选择项目一投资．

1．(多选题)已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．

当 a 增大时，(　　)

A．E(ξ)增大　　 B．E(ξ)减小

C．D(ξ)减小　   D．D(ξ)增大

AD　[0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：

E(ξ)＝a－，∴当 a 增大时，E(ξ)增大；

D(ξ)＝×＋×＋×a＝－a2＋ a＋＝－＋，

∵0<a<，∴当 a 增大时，D(ξ)增大．故选AD．]

2．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)

A．0.7　　　　     B．0.6　　　 

C．0.4　　　　     D．0.3

B　[由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6．

又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，

所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6．故选B．]

3．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．

　5　[由独立重复试验的方差公式可以得到

D(ξ)＝np(1－p)≤n＝，等号在p＝1－p＝时成立，所以D(ξ)max＝100××＝25，＝＝5．]

4．变量ξ的分布列如下：

其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．

　[由条件可知2b＝a＋c，

又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝．

又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，

故ξ的分布列为

∴D(ξ)＝×＋×＋×＝．]

为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：

(1)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；

(2)从8所学校中随机选出2所学校，记这2所学校中学生不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；

(3)设8所学校的学生中优秀比例的方差为S，良好及以下比例之和的方差为S，比较S与S的大小．

[解]　(1)8所学校中有4所学校的学生的健康测试成绩达到良好及以上的比例之和超过40%，

所以从8所学校中随机选出一所学校，该校为先进校的概率为．

(2)8所学校中，学生不及格比例低于30%的学校有学校B，F，H，所以X的取值为0,1,2．

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

所以X的分布列为

(3)设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和Z＝1－Y，

则D(Y)＝D(Z)，

所以S＝S．