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高中苏教版 (2019)2.1 圆的方程第2课时测试题
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这是一份高中苏教版 (2019)2.1 圆的方程第2课时测试题,共4页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
课后素养落实(十) 圆的一般方程(建议用时:40分钟)一、选择题1.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)关于直线y=x对称,则有( )A.D+E=0 B.D=EC.D=F D.E=FB [由圆的对称性知,圆心在直线y=x上,故有-=-,即D=E.]2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为,则a=( )A.0或-1 B.0C.7 D.-1或7D [将x2+y2-2x-8y+13=0整理得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆的圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y-1=0的距离d==,整理得a2-6a-7=0,解得a=-1或a=7.]3.过三个点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2 B.3 C.4 D.5C [设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得故圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则|MN|=|y1-y2|==4.故选C.]4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.π B.4πC.8π D.9πB [设P(x,y),由条件知=2,整理得x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π.]5.已知a∈R且为常数,圆C:x2+2x+y2-2ay=0,过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A,B两点,当弦AB最短时,直线l的方程为2x-y=0,则a的值为( )A.2 B.3 C.4 D.5B [圆C:x2+2x+y2-2ay=0化简为(x+1)2+(y-a)2=a2+1,圆心坐标为C(-1,a),半径为.如图,由题意可得,当弦AB最短时,过圆心与点(1,2)的直线与直线2x-y=0垂直.则=-,即a=3.故选B.]二、填空题6.已知圆C:x2+y2-2x+2y-3=0,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为________.(2,-3) [由x2+y2-2x+2y-3=0得,(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆心C(1,-1).设B(x0,y0),又A(0,1),由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2,-3).]7.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的一般方程为________.x2+y2-4x-5=0 [设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0),由题意可得=,解得a=2(a=-2舍去),所以圆C的半径为=3,所以圆C的方程为x2+y2-4x-5=0.]8.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是________.3- [|AB|==2,又AB方程为+=1,即x-y+2=0,圆x2+y2-2x=0上的点到直线距离的最小值为d=-1=,∴S△ABC的最小值为×2×=3-.]三、解答题9.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆.(1)求t的取值范围;(2)求这个圆的圆心坐标和半径;(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.[解] (1)圆的方程化为[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2.由7t2-6t-1<0得-<t<1.故t的取值范围是.(2)由(1)知:圆的圆心坐标为(t+3,4t2-1),半径为.(3)r==≤.∴r的最大值为,此时t=,圆的标准方程为+=.10.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,及点Q(-2,3).(1)P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.[解] (1)∵点P(a,a+1)在圆上,∴a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,∴a=4,P(4,5),∴|PQ|==2,kPQ==.(2)∵圆心C的坐标为(2,7),∴|QC|==4,圆的半径是2,点Q在圆外,∴|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.11.(多选题)关于方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,下列叙述正确的是( )A.圆心在直线y=-x上B.圆心在直线y=x上C.圆过原点D.圆的半径为|a|ACD [圆x2+y2+2ax-2ay=0可化为(x+a)2+(y-a)2=2a2.圆心坐标为(-a,a)适合方程y=-x.∴A正确,不适合y=x,∴B错误,把(0,0)代入圆的方程适合,∴C正确,又r2=2a2,∴r=|a|,∴D正确.故选ACD.]12.使方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的实数a的可能取值为( )A.-2 B.0 C.1 D.B [该方程若表示圆,则有(-a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,解得-2<a<,其中B项满足条件,应选B.]13.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.(-2,-4) 5 [由题意知a2=a+2,则a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,即+(y+1)2=-,不能表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,所以圆心坐标是(-2,-4),半径是5.]14.M(3,0)是圆C:x2+y2-8x-2y+10=0内一点,过M点最长的弦所在的直线方程为________,最短的弦所在的直线方程是________.x-y-3=0 x+y-3=0 [由圆的几何性质可知,过圆内一点M的最长的弦是直径,最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),kCM==1,∴最短的弦所在的直线的斜率为-1,由点斜式,分别得到方程y=x-3和y=-(x-3),即x-y-3=0和x+y-3=0.]15.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.[解] (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).
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