高中第2章 圆与方程2.3 圆与圆的位置关系同步测试题

这是一份高中第2章 圆与方程2.3 圆与圆的位置关系同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(十二)　圆与圆的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)A．1条 B．2条C．3条 D．4条D　[x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．]2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)A．内切 B．相交C．外切 D．相离B　[法一：由得两交点为(0，0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2．又a>0，∴a＝2．∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0，2)，半径r1＝2．又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝．∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴两圆相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a．依题意，有＝，解得a＝2．以下同法一．]3．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9D　[动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D．]4．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为(　　)A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝50C　[根据题意，⊙O的圆心O为(0，0)，半径为．⊙O1的圆心O1(a，0)，半径为r．∵⊙O与⊙O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，∴()2＋r2＝a2． ①又由|AB|＝4，则××|OO1|＝××r，即|a|＝r． ②由①②得5＋r2＝，解得r2＝20，a＝5．故⊙O1的方程为(x－5)2＋y2＝20．]5．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是(　　)A．60°　　B．45°　　C．120°　　D．90°D　[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2．圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为r＝2．圆心距为d＝＝2，弦心距d′＝＝．设公共弦所对的圆心角是2θ，则cos θ＝＝，∴θ＝45°，∴2θ＝90°．故选D．]二、填空题6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．a2＋b2＞3＋2　[由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2．]7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________．2　[由题意可知直线MN方程为：(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0．圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心(0，0)到x－y＋2＝0的距离d＝＝．所以|MN|＝2＝2×＝2．]8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．x＋2y－8＝0　[把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为(2，4)，半径为2．圆心到原点的距离为＝2．∴切线长为＝4，∴P，Q在以(0，0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16．由得x＋2y－8＝0．这就是PQ所在直线的方程．]三、解答题9．求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长．[解]　设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程组的解，两式相减得x＋y－1＝0．因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝．10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．[解]　由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0．∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2，0)，C2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为＝，即x＋y＋2＝0．过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．由得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C1(－2，0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，∴所求圆的半径r＝＝1，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1．11．(多选题)已知直线y＝x＋b与曲线y＝3－，下列说法正确的是(　　)A．b＝1±2时，直线与曲线有且仅有一个交点B．－1＜b≤3时，直线与曲线有且仅有一个交点C．1－2＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点D．b＞3或b＜1－2时，直线与曲线没有交点BCD　[把y＝3－化成为(x－2)2＋(y－3)2＝4，因为0≤x≤4，y≤3，所以曲线表示圆的下半部分，如图，C(2，3)，A(0，3)，B(4，3)．当y＝x＋b过A时，b＝3，直线与曲线有且仅有一个交点，当y＝x＋b过B时，b＝－1，这时直线与曲线有两个交点，当y＝x＋b与曲线相切时，＝2，解得b＝1－2(b＝1＋2舍去)．∴当b＞3或b＜1－2时，直线与曲线无交点；当－1＜b≤3或b＝1－2时，直线与曲线有且仅有一个交点；当1－2＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点，故选BCD．]12．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(　　)A．1.4米　　B．3.5米　　C．3.6米　　D．2米B　[建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62．∴h＝4≈3.5(米)．]13．设直线l：y＝kx＋b(k>0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________；b＝________．　－　[由题意，C1，C2到直线的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝，所以k＝0(舍)或者b＝－2k，解得k＝，b＝－．]14．若圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．x－y＋2＝0　[圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4为等圆，所以直线l是C1C2的中垂线，由C1(0，0)，C2(－2，2)知kC1C2＝－1，且C1C2的中点坐标为(－1，1)，∴kl＝1，所求l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．]15．如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0．(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[解]　(1)由题意得得x2－(1＋a)x＋a＝0，由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1．故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0．(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，即(x－1)(x－a)＝0，所以M(1，0)，N(a，0)，假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入x2＋y2＝4得，(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而x1＋x2＝，x1x2＝．因为直线NA，NB的斜率之和为＋＝，而(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝2x1x2－(a＋1)(x2＋x1)＋2a＝2×－(a＋1)＋2a＝，因为∠ANM＝∠BNM，所以＋＝0，即＝0，得a＝4．当直线AB与x轴垂直时，也成立．故存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM．