高中苏教版 (2019)3.2 双曲线当堂检测题

课后素养落实(十七)　双曲线的几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)

A．实半轴长相等   B．虚半轴相等

C．离心率相等  D．焦距相等

D　[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]

2．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)

A．(，＋∞)   B．(，2)

C．(1，)   D．(1，2)

C　[由题意得双曲线的离心率e＝．

即e2＝＝1＋．

∵a＞1，∴0＜＜1，

∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C．]

3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)

A．－＝1   B．－＝1

C．－＝1   D．－＝1

A　[双曲线C的渐近线方程为－＝0，又点P(2，1)在C的渐近线上，所以－＝0，即a2＝4b2，              ①

又a2＋b2＝c2＝25， ②

由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A．]

4．过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(　　)

A．   B．1＋

C．2＋   D．3－

B　[因为|PF2|＝|F2F1|， P点满足－＝1，∴y＝，

∴2c＝，即2ac＝b2＝c2－a2，∴2＝e－，又e＞0，故e＝1＋．]

5．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)

A．  B．3  C．2  D．4

B　[根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2，0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，

可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，

分别与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，

求得M(3，) ，N，

所以|MN|＝＝3．]

二、填空题

6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝_______，渐近线方程是________．

2　y＝±x　[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2．渐近线方程是y＝±x＝±x．]

7．以y＝±x为渐近线且经过点(2，0)的双曲线方程为________．

－＝1　[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1．]

8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．

－y2＝1　[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，

∴双曲线的标准方程为－y2＝1．

法二：∵渐近线y＝x过点(4，2)，而＜2，

∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，

在y＝－x的上方(如图)．

∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由已知条件可得

解得

∴双曲线的标准方程为－y2＝1．]

三、解答题

9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；

(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．

[解]　(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，

因为＝，所以a＝5，b＝＝12．

故所求双曲线的标准方程为－＝1．

(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，

若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝．①

因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1．②

联立①②，无解．

若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则＝．　③

∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1．　④

由③④联立，解得a2＝8，b2＝32．

∴所求双曲线的标准方程为－＝1．

法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，

可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，

∵A(2，－3)在双曲线上，

∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．

∴所求双曲线的标准方程为－＝1．

10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2，0)，离心率e＝2．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．

[解]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝．

所以所求双曲线方程为x2－＝1．

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0．(*)

设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN的垂直平分线的方程为

y－＝－，即x＋y－2m＝0，

与坐标轴的交点分别为(0，2m)，(2m，0)，

可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±．

11．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　)

A．有相同的焦点  B．有相同的焦距

C．有相同的离心率  D．有相同的渐近线

BD　[两方程均化为标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误．]

12．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a，0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为(　　)

A．  B．  C．  D．2

D　[直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝c，

即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4．

整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，

又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e2＝4，e＝2．]

13．已知椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝________，cos∠F1PF2的值为________．

＋　　[因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得

解得

又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝．]

14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．

[2，＋∞)　[由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．]

15．已知椭圆C1：＋y2＝1的左右顶点是双曲线C2：－＝1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且·＝－5，求|M1M2|的取值范围．

[解]　(1)由椭圆C1：＋y2＝1的左右顶点为(－，0)，(，0)，可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点(0，1)到双曲线C2的渐近线bx－ay＝0的距离为，由点到直线的距离公式有＝可得b＝1，

所以双曲线C2的方程为－y2＝1．

(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，

代入－y2＝1，消去y并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，要与C2相交于两点，

则应有

⇒，①

设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1·x2＝－．

又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

又·＝－5，所以有[(1＋k2)(－3m2－3)＋6k2m2＋m2(1－3k2)]＝－5，

整理得m2＝1－9k2，②

将y＝kx＋m，代入＋y2＝1，消去y并整理得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

要有两交点，则Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0⇒3k2＋1＞m2，③

由①②③得0＜k2≤．

设M1(x3，y3)，M2(x4，y4)，则有

x3＋x4＝，x3·x4＝．

所以|M1M2|＝·

＝·，

又m2＝1－9k2，代入得

|M1M2|＝·＝12，

令t＝k2，则t∈，

令f(t)＝，故函数f(t)在t∈内单调递增，

故f(t)∈，

则有|M1M2|∈(0，]．