数学选择性必修第一册5.1 导数的概念课堂检测

课后素养落实(三十一)　平均变化率

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝x2－sin x在[0，π]上的平均变化率为(　　)

A．1　　B．2　　C．π　　D．π2

C　[平均变化率为＝＝π．]

2．函数y＝在x＝1到x＝3之间的平均变化率为(　　)

A．　　B．－　　C．－　　D．

C　[当x1＝1时，y1＝＝1；当x2＝3时，y2＝；

所以函数y＝在x＝1到x＝3之间的平均变化率为＝＝－．]

3．某物体沿水平方向运动，其前进距离s m与时间t s的关系为s(t)＝5t＋2t2，则该物体在运行前2 s的平均速度为(　　)

A．18 m/s　　B．13 m/s　　C．9 m/s　　D． m/s

C　[∵s(t)＝5t＋2t2，因此，该物体在运行前2 s的平均速度为＝＝9 m/s．]

4．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则(　　)

A．k1>k2　　B．k1<k2　　C．k1＝k2　　D．不确定

A　[∵k1＝＝2x0＋Δx，

k2＝＝2x0－Δx，

又由题意知Δx>0，故k1>k2．]

5．函数f(x)＝从1到a的平均变化率为，则实数a的值为(　　)

A．10　　B．9　　C．8　　D．7

B　[f(x)＝从1到a的平均变化率为＝＝，解得实数a的值为9．]

二、填空题

6．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．

　[由函数f(x)的图象知，f(x)＝

所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为

＝＝．]

7．已知函数y＝sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为________．

k1>k2　[当x∈时，平均变化率k1＝＝，

当x∈时，平均变化率k2＝＝，所以k1>k2．]

8．函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________．

4　[＝＝a2＋a＋1＝21，解得a＝4或a＝－5．∵a>1，∴a＝4．]

三、解答题

9．(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5．

①当x1＝4，x2＝5时，求函数增量Δy和平均变化率；

②当x1＝4，x2＝4.1时，求函数增量Δy和平均变化率．

(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？

[解]　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，

所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)

＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx．

＝＝2Δx＋(4x1＋3)．

①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21．

②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92．

＝19.2．

(2)在x＝1附近的平均变化率为

k1＝＝＝2＋Δx；

在x＝2附近的平均变化率为

k2＝＝＝4＋Δx；

在x＝3附近的平均变化率为

k3＝＝＝6＋Δx．

当Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝．

由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大．

10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．

[解]　∵函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为

＝＝－3－Δx，

∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2．

又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．

11．设函数f(x)＝2x＋1在区间[－3，－1]上的平均变化率为a，在区间[3，5]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是(　　)

A．a>b B．a<b

C．a＝b D．不确定

C　[由已知可得a＝＝2，b＝＝2，因此a＝b．]

12．设某产品的总成本函数为C(x)＝1 100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．(精确到0.01)

1.58　[总成本的平均变化率为

＝

＝＝≈1.58．]

13．人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了某人服药后c(t)的一些函数值．

服药后30 min～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．

－0.002　[由表知c(30)＝0.98，c(70)＝0.90，所以所求平均变化率为＝＝－0.002．]

14．如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．(填序号)

①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；

③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．

③　[在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；

在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为．

因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．]

15．跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

(1)运动员在这段时间里是静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？

[解]　＝

＝＝0(m/s)，

即运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s．

(1)运动员在这段时间里显然不是静止的．

(2)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．