高中数学模块测评含解析苏教版选择性必修第一册

这是一份2021学年本册综合课后复习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　　)
A．±　　　　B．±2　　　　C．　　　　D．－2
D　[因为＝q3＝－8，故q＝－2．]
2．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．135°
D　[由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°．]
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
B　[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．]
4．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A． B． C． D．
B　[由题意，1－＝＝，∴＝，而双曲线的离心率e2＝1＋＝1＋＝，∴e＝．]
5．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D　[因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D．]
6．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
C　[由题意，以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线y＝－代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±，
∵△MNF为正三角形，∴p＝×2，
∵p＞0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y．]
7．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－，＋∞)
B　[由题意得：f′(x)＝ex(sin x＋a)＋excos x＝ex．
∵f(x)在上单调递增，
∴f′(x)≥0在上恒成立．
又ex＞0，∴sin＋a≥0在上恒成立．
当x∈时，x＋∈，
∴sin∈．
∴sin＋a∈(－1＋a，＋a]，∴－1＋a≥0，解得a∈[1，＋∞)．故选B．]
8．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得⊥，则E的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，2) B．
C． D．(2，＋∞)
B　[由题意得，A(a，0)，F(2a，0)，设P，由⊥，得·＝0⇒x－3ax0＋2a2＝0，因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，即9a2－4×2a2×≥0⇒9a2≥8c2⇒e2≤⇒e≤，
又因为E为双曲线，则1＜e≤，故选B．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．对于定点P(1，1)和圆C：x2＋y2＝4，下列说法正确的是(　　)
A．点P在圆内部
B．过点P有两条圆的切线
C．过点P被圆截得的弦长最大时的直线方程为x－y＝0
D．过点P被圆截得的弦长最小值为2
ACD　[由12＋12＜4知，点(1，1)在圆内，∴A对；且过P不能作出圆的切线，∴B错；过点P的最大弦长为直径，所以方程应为y＝x，即x－y＝0，∴C对；D中，过点P且弦长最小的方程应是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，∴弦长为2＝2，
∴D对，故应选ACD．]
10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　)
A．a5＝－16
B．S5＝－63
C．数列是等比数列
D．数列是等比数列
AC　[因为Sn为数列的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以数列是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；
因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；
又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；
因为S1＋1＝0，所以数列不是等比数列，故D错误．故选AC．]
11．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间(0，4)单调递增
B．函数f(x)在区间单调递减
C．函数f(x)在x＝1处取得极大值
D．函数f(x)在x＝0处取得极小值
ABD　[根据导函数图象可知，f(x)在区间上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在区间(0，4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A、B、D选项正确，C选项错误．故选ABD．]
12．下列说法正确的是(　　)
A．椭圆＋＝1上任意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为－
B．过双曲线－＝1焦点的弦中垂直于实轴的弦长为
C．抛物线y2＝2px上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若弦AB经过抛物线焦点，则x1x2＝
D．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切
ABC　[对于A中，椭圆的左右顶点的分别为A(－a，0)，B(a，0)，
设椭圆上除左右顶点以外的任意一点P(m，n)，则
kPA·kPB＝·＝，
又因为点P(m，n)在椭圆上，可得＋＝1，解得n2＝b2，
所以kPA·kPB＝－，所以A项是正确的；
对于B中，设双曲线－＝1右焦点F(c，0)，
则AB＝2b＝，故B正确．
对于C中，当AB斜率不存在时，xA＝xB＝，∴有x1x2＝；当AB斜率存在时，可设AB方程为y＝k．
代入y2＝2px得k2＝2px，即k2x2－k2px－2px＋＝0，所以x1x2＝，故C正确；对于D中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，该直线和圆锥曲线相切是错误，即D项是不正确的．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．
25　[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25．]
14．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则|AB|＋r＝________．
2＋2　[如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，

又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2，|AB|＝2＝2．
∴|AB|＋r＝2＋2．]
15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，则a2＝________，Sn＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
　　[Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，令n＝1，则a2＝2a1(a1＋a2)，
∴a2＝－2(－1＋a2)，解得a2＝．
又Sn＋1－Sn＝2SnSn＋1，整理得－＝2(常数)，
即－＝－2(常数)，
故数列是以＝＝－1为首项，－2为公差的等差数列．
所以＝－1－2(n－1)＝1－2n， 故Sn＝．]
16．设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)＞f(x)(x∈R)，f(2)＝e2(e为自然对数的底数)，则不等式f(x)＜ex的解集为________．
(－∞，2)　[构造f(x)＝∴F′(x)＝＝．
由于f′(x)＞f(x)，故F′(x)＞0 ，即f(x)在R上单调递增．
又f(2)＝e2，故f(2)＝＝1，f(x)＜ex，即f(x)＝＜1＝f(2)，即x＜2．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程．
[解]　线段AB的中点为(1，3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1．
由得(0，1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．
18．(本小题满分12分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn．
[解]　(1)设q(q>0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2．
所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n．
(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋x2．
(1)求h(x)＝f(x)－3x的极值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由已知可得h(x)＝f(x)－3x＝ln x＋x2－3x，
h′(x)＝(x＞0)，
令h′(x)＝＝0，可得x＝或x＝1，
则当x∈∪(1，＋∞)时，h′(x)＞0，
当x∈时，h′(x)＜0，
∴h(x)在，(1，＋∞)上为增函数，在上为减函数，
则h(x)极小值＝h(1)＝－2，
h(x)极大值＝h＝－－ln 2．
(2)g(x)＝f(x)－ax＝ln x＋x2－ax，
g′(x)＝＋2x－a(x＞0)，
由题意可知g′(x)≥0(x＞0)恒成立，
即a≤min，
∵x＞0时，2x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，
∴min＝2，
∴a≤2，即实数a的取值范围为(－∞，2]．
20．(本小题满分12分)已知在正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn．
[解]　(1)∵点(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，
∴an＋1＝an＋1，
∴数列{an}是公差为1的等差数列．
∵a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)＝n．
∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，
两式相减得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，
由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1．
∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
∴bn＝．
(2)log2bn＋1＝log2＝－n，
∴cn＝＝－，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－＝．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x＋x2－(1＋a)x，a∈R．
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的x∈(e，＋∞)都有f(x)＞0成立，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2－2x，x＞0，
f′(x)＝，f′(1)＝0，f(1)＝－，
所以所求切线方程为y＝－．
(2)f′(x)＝＝．
当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)递增；
当a≤0时，f(x)在(0，1)递减，(1，＋∞)递增；
当0＜a＜1时，f(x)在(0，a)递增，(a，1)递减，(1，＋∞)递增；
当a＞1时，f(x)在(0，1)递增，(1，a)递减，(a，＋∞)递增．
(3)由f(x)＞0得(x－ln x)a＜x2－x．
注意到y＝x－ln x，y′＝，于是y＝x－ln x在(0，1)递减，(1，＋∞)递增，最小值为1，所以∀x∈(e，＋∞)，x－ln x＞0．
于是只要考虑∀x∈(e，＋∞)，a＜．
设g(x)＝，g′(x)＝，
注意到h(x)＝x＋2－2ln x，h′(x)＝，于是h(x)＝x＋2－2ln x在(e，＋∞)递增，h(x)＞h(e)＝e＞0，
所以g(x)在(e，＋∞)递增，于是a≤g(e)＝．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
[解]　(1)由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3．
所以C的方程为＋＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0．
于是x1＋x2＝－，x1x2＝． ①
由AM⊥AN知·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0．
将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0．
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0．
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－k－．
于是MN的方程为y＝k－(k≠1)．
所以直线MN过点P．
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．
由·＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0．
又＋＝1，可得3x－8x1＋4＝0．解得x1＝2(舍去)，x1＝．
此时直线MN过点P．
令Q为AP的中点，即Q．
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
故|DQ|＝|AP|＝．
若D与P重合，
则|DQ|＝|AP|．
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．