高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示第1课时当堂检测题

课后素养落实(七)　向量的坐标表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)如图，已知{i，j}是一组基底．对于向量a，下列说法正确的是(　　)

A．a可以表示为4i＋3j   B．a可以表示为3i＋4j

C．a的坐标为(4，3)   D．a的坐标为(3，4)

AC　[观察题图可知，a＝4i＋3j，故A正确，B错误；写成坐标形式为a＝(4，3)，故C正确，D错误．故选AC．]

2．已知点A＝(1，0)，B＝(3，2)，向量＝(2，1)，则向量＝(　　)

A．(0，－1)   B．(1，－1)

C．(1，0)   D．(－1，0)

A　[依题意＝(2，2)，所以＝－＝(2，1)－(2，2)＝(0，－1)，故选A．]

3．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝(　　)

A．(2，4)   B．(2，－4)

C．(－2，4)   D．(－2，－4)

D　[＝＋＝－

＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．]

4．已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)

A．(5，14)   B．(5，4)

C．(7，14)   D．(7，4)

A　[设B点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)，

∵＝3a，

∴(x＋1，y－5)＝3(2，3)＝(6，9)，

∴

∴]

5．若向量a＝(x＋3，y－4)与相等，已知A(1，2)和B(3，2)，则x，y的值分别为(　　)

A．1，4   B．－1，4

C．1，－4   D．－1，－4

B　[∵＝(3，2)－(1，2)＝(2，0)＝(x＋3，y－4)，

∴解得]

二、填空题

6．已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝__________，b＝________．

(3，5)　(－2，－2)　[由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，

∴2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，

∴a＝(3，5)，

2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．]

7．如图，已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．

(－，1)　[过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，

则x＝||cos 150°＝－，

y＝||sin 150°＝1．

所以的坐标为(－，1)．]

8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为________．

　[设P(x，y)，则

＝(x－3，y＋2)，

＝(－8，1)＝，

∴

∴

∴P点的坐标为．]

三、解答题

9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求x的值；

(2)已知点P1(2，－1)，P2(0，5)，点P在线段P1P2上且||＝2||，求P点的坐标．

[解]　(1)∵＝(2，0)，

又∵a＝，

∴

∴x＝－1．

(2)设P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，

＝(－x，5－y)，

∵点P在线段P1P2上且||＝2||，

∴＝2，

∴

∴

∴P．

10．已知四边形ABCD的顶点坐标为A(4，－1)，B(3，4)，D(1，－2)，且＝λ(λ>0)．

(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；

(2)若点M为直线AC外一点，且＝＋，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．

[解]　(1)因为A(4，－1)，B(3，4)，所以＝(－1，5)，

设点C的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，

而＝λ(λ>0)，

所以

解得

因为点C在第一象限，所以1<λ<．

(2)由＝＋得2(－)＝3(－)，即2＝3，

若点P恰为四边形ABCD对角线的交点且＝λ(λ>0)，

根据三角形相似得到＝λ，所以λ＝．

11．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝．设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，

所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝．]

12．(多选题)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，则第四个顶点的坐标可能为(　　)

A．(0，－1)   B．(6，15)

C．(2，－3)   D．(2，3)

ABC　[设平行四边形的第四个顶点是D(x，y)．

当＝时，(x－3，y－7)＝(－3，－8)，解得x＝0，y＝－1，此时第四个顶点的坐标为(0，－1)；

当＝时，(x－3，y－7)＝(3，8)，解得x＝6，y＝15，此时第四个顶点的坐标为(6，15)；

当＝时，(1，－1)＝(x－1，y＋2)，解得x＝2，y＝－3，此时第四个顶点的坐标为(2，－3)．

综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(6，15)，(2，－3)．故选ABC．]

13．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．

(0，2)　[因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，

令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，

所以

即

所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．]

14．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

4　[以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)．所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．

因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，所以

解得所以＝4．]

15．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．

(1)若＋＋＝0，求的坐标；

(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n．

[解]　(1)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，

又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．

所以解得

所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．

(2)设点P的坐标为(x0，y0)，

因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，

所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，

＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，

因为＝m＋n，

所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，

所以

两式相减得m－n＝y0－x0，

又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，

所以y0－x0＝1，所以m－n＝1．