2021学年9.3 向量基本定理及坐标表示第2课时随堂练习题

课后素养落实(八)　向量数量积的坐标表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　)

A．14  B．11  C．10  D．5

B　[a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，

∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11．]

2．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)

A．－3  B．－2  C．2  D．3

C　[因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．]

3．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[由于2a＋b＝(4，2)，则b＝(4，2)－2a＝(2，0)，

则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2．

设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝．

又θ∈[0，π]，所以θ＝．]

4．已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量＝(－1，2)，＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝(　　)

A．  B．2  C．4  D．或4

D　[在Rt△AOB中，＝(4，m－2)，

若∠OAB为直角时，·＝0，可得m＝4；

若∠AOB为直角时，·＝0，可得m＝；

若∠OBA为直角时，无解．]

5．以原点O及点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则的坐标为(　　)

A．(－2，5)或(2，－5)   B．(－2，5)

C．(2，－5)   D．(－2，－5)或(2，5)

A　[设＝(x，y)，

由||＝||，得＝． ①

由⊥，得5x＋2y＝0 ②

联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5．

故＝(－2，5)或＝(2，－5)．]

二、填空题

6．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．

－　[因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，

则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－．]

7．已知a＝(4，2)，则与a垂直的单位向量b＝________．

或　[设b＝(x，y)，

则由

得或]

8．已知＝(2，2)，＝(4，1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点的坐标为________．

(3，0)　[设P(x，0)，所以·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，此时P(3，0)．]

三、解答题

9．已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．

[解]　(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，

∴＝(1，1)，＝(－3，3)．

则·＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴⊥，即AB⊥AD．

(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，

∴＝．

设C点的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，

从而有即

∴C点的坐标为(0，5)．

∵＝(－4，2)，

∴||＝2，

即矩形ABCD的对角线的长度为2．

10．已知＝(4，0)，＝(2，2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)．

(1)求·及在上的投影向量；

(2)求||的最小值．

[解]　(1)·＝8，设与的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，

∴在上的投影向量为(||cos θ)＝4××＝＝(1，)．

(2)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，

∴当λ＝时，||取到最小值为2．

11．(多选题)已知a＝(1，0)，|b|＝1，c＝(0，－1)，满足3a＋kb＋7c＝0，则实数k的值可能为(　　)

A．  B．－  C．58  D．－58

AB　[由题可得，kb＝－3a－7c＝－3×(1，0)－7×(0，－1)＝(－3，7)，

∴|kb|＝|k|·|b|＝＝．

∵|b|＝1，∴k＝±．]

12．(多选题)已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是(　　)

A．－2a2  B．－a2  C．－a2  D．－a2

BCD　[建立如图所示的平面直角坐标系．

设P(x，y)，又A(0，a)，B(－a，0)，C(a，0)．

则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)．

所以·(＋)

＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]

＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)

＝2x2＋2y2－2ay

＝2x2＋2－a2≥－a2．故选BCD．]

13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．

1　1　[以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．

则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，

设E(1，a)(0≤a≤1)．

所以·＝(1，a)·(1，0)＝1，

·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，

故·的最大值为1．]

14．窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则·的值为________．

0　[如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，

建立直角坐标系． 则A(0，0)，D(0，1)，延长AF与BC交于点I，

tan∠FAB＝＝＝，故I为BC中点．

直线AI：y＝x，同理可

得：直线GB：y＝－2x＋2，

直线HC：y＝x＋；

解得：F，G，

故＝，＝，·＝0．]

15．已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．

(1)求使·取得最小值时的；

(2)根据(1)中求出的点C，求cos∠ACB．

[解]　(1)因为点C是直线OP上一点，

所以向量与共线，设＝t，

则＝(2t，t)．

＝－＝(1－2t，7－t)，

＝－＝(5－2t，1－t)．

·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)

＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8．

当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4，2)．

(2)当＝(4，2)时，＝(－3，5)，＝(1，－1)，

所以||＝，||＝，·＝－8．

所以cos∠ACB＝＝－．