高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数一课一练

课后素养落实(十二)　两角和与差的正弦

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．sin 255°＝(　　)

A．   B．－

C．   D．－

B　[sin 255°＝－sin 75°＝－sin(45°＋30°)＝－．]

2．sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°的值为(　　)

A．－  B．  C．－  D．

B　[sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin(45°＋15°)＝sin 60°＝，故选B．]

3．在△ABC中，2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)

A．等边三角形   B．等腰三角形

C．直角三角形   D．不确定

B　[在△ABC中，C＝π－(A＋B)，

∴2cos Bsin A＝sin[π－(A＋B)]

＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B．

∴－sin Acos B＋cos Asin B＝0．

即sin(B－A)＝0．

∴A＝B．]

4．＝(　　)

A．－1  B．1  C．－  D．

A　[

＝

＝

＝＝－1．]

5．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为(　　)

A．  B．1  C．  D．2

B　[∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)

＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ

＝sin[(x＋φ)－φ]

＝sin x，

∴f(x)的最大值为1．]

二、填空题

6．要使sin α－cos α＝有意义，则实数m的取值范围是________．

　[∵sin α－cos α＝2sin，

∴2sin＝，

∴sin＝，

∴≤1，解得－1≤m≤．]

7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为________，最小值为________．

2　－1　[f(x)＝sin x＋cos x＝2

＝2

＝2sin．

∵－≤x≤，

∴－≤x＋≤π，

∴－≤sin≤1，

即－1≤f(x)≤2．]

8．已知关于x的方程sin x＋cos x＋k＝0在x∈[0，π]上有解，则实数k的取值范围为________．

[－，1]　[∵sin x＋cos x＋k＝0，

∴sin x＋cos x＝－k，

即sin＝－k．

又∵0≤x≤π，

∴≤x＋≤π，

∴－1≤sin≤．

∴－1≤－k≤，即－≤k≤1．]

三、解答题

9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin 2α．

[解]　∵＜β＜π，

∴－π＜－β＜－．

∵＜α＜π，

∴－＜α－β＜．

又∵β＜α，

∴0＜α－β＜，

则sin＝．

∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π，

∴cos(α＋β)＝－．

∴sin 2α＝sin

＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)

＝×＋×＝－．

10．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x＜．

(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；

(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．

[解]　(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x

＝cos x＋··cos x

＝cos x＋sin x

＝2

＝2

＝2sin．

(2)∵0≤x＜，

∴≤x＋＜，

由x＋≤，得x≤．

∴f(x)在上是单调增函数，

在上是单调减函数．

∴当x＝时，f(x)有最大值为2．

11．(多选题)设函数f(x)＝sin＋cos，则f(x)(　　)

A．是偶函数

B．在区间单调递减

C．最大值为2

D．其图象关于直线x＝对称

ABD　[f(x)＝sin＋cos

＝sin＝cos 2x．

f(－x)＝cos(－2x)＝cos(2x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，A正确；

∵x∈，所以2x∈(0，π)，因此f(x)在区间上单调递减，B正确；

f(x)＝cos 2x的最大值为，C不正确；

当x＝时，f(x)＝cos＝－，因此当x＝时，函数有最小值，因此函数图象关于x＝对称，D正确．]

12．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)

A．   B．

C．或   D．或

A　[由

①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37．

∴sin(A＋B)＝，即sin C＝，

∴C＝或．

若C＝，则A＋B＝，∴1－3cos A＝4sin B>0，

∴cos A<，

又<，故A>，此时A＋C>π，不符合题意，

∴C≠．

同理，若C＝时，符合题意，故选A．]

13．已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．

－　[∵cos α＋sin α＋sin α＝，

∴sin α＋cos α＝，

∴＝，

∴sin＝，

∴sin＝sin

＝－sin＝－．]

14．sin 50°(1＋tan 10°)＝________．

1　[原式＝sin 50°

＝sin 50°·

＝2sin 50°·＝

＝

＝＝＝1．]

15．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈．

求：(1)sin(2α－β)的值；

(2)β的值．

[解]　(1)因为α，β∈，

所以α－β∈，

又sin(α－β)＝>0，

所以0<α－β<．

所以sin α＝＝，

cos(α－β)＝＝，

sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]

＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)

＝×＋×＝．

(2)sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝，

又因为β∈，

所以β＝．