2020-2021学年11.1 余弦定理习题

课后素养落实(十六)　余弦定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)

A．30°  B．60°  C．120°  D．150°

B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝＝，

∴A＝60°．]

2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，

所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－．]

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)

A．一定是锐角三角形   B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形   D．是锐角或直角三角形

C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]

4．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　)

A．90°  B．120°   C．135°  D．150°

B　[设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°．则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°．]

5．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝3，则c的取值范围是(　　)

A．(2，4)   B．(2，3]

C．[3，)   D．(2，)

D　[由题意得2<c<4． 由题意得0<cos A<1，且0 < cos B< 1，且0<cos C<1，所以9＋c2－1>0，且c2＋1－9>0，且1＋9－c2>0， 所以2<c<． 因为2<c<4，所以2<c<． 故选D．]

二、填空题

6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．

0　[∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°

＝a2＋c2＋ac，

∴a2＋c2＋ac－b2＝0．]

7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________．

1　[∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)，∴a＝1．]

8．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．

4　[5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0，

∴x1＝，x2＝－2(舍去)，

∴cos C＝．

根据余弦定理，

c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16，

∴c＝4，即第三边c的长为4．]

三、解答题

9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，b＝，求c．

[解]　在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，

∴B＝60°．

由余弦定理，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，

即 ()2＝82－2ac，

∴ac＝15，

∵a＋c＝8， 解得c＝3或c＝5．

10．在△ABC中，已知cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．

[解]　在△ABC中，

由cos2＝，得＝，

∴cos A＝．

根据余弦定理的推论，得＝．

∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2．

∴△ABC是直角三角形．

11．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

A　[cos B＝＝

＝＋≥，

∵0<B<π，

∴B∈．故选A．]

12．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan B＝ac，则角B的值为(　　)

A．   B．   C．   D．

BD　[根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B，

代入化简可得2accos B·＝ac， 即sin B＝．

因为0<B<π， 所以B＝或B＝，故选BD．]

13．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．

(1，)∪(5，7)　[①若x>4，则x所对的角为钝角，

∴<0且x<3＋4＝7，

∴5<x<7．

②若x<4，则4对的角为钝角，

∴<0且3＋x>4，

∴1<x<．

∴x的取值范围是(1，)∪(5，7)．]

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，cos(A－B)＝，则cos C＝________，c＝________．

　6　[由题意知a>b，∴A>B．在线段BC上取点D，使得BD＝AD，连接AD，如图所示．

设BD＝x，则AD＝x，DC＝5－x．

在△ADC中，cos∠DAC＝cos(∠BAC－B)＝，

由余弦定理得(5－x)2＝x2＋42－2x·4×，

即25－10x＝16－x，

解得x＝4．

∴在△ADC中，AD＝AC＝4，CD＝1，

由余弦定理的推论，得cos C＝＝，

∴c＝＝＝6．]

15．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长(试用多种方法求解)．

[解]　法一：由条件知：cos A＝＝＝，

设中线长为x，由余弦定理知：

x2＝＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，所以x＝7．

所以AC边上的中线长为7．

法二：如图，设D为AC的中点，则＝(＋)，

∴2＝(2＋2＋2·)

＝(92＋72＋2×9×7cos B)．

在△ABC中，由余弦定理可知，cos B＝＝．

∴2＝＝49．

∴||＝7，即AC边上的中线长为7．

法三：利用平行四边形的性质：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和，即AC2＋(2BD)2＝2(BA2＋BC2)，

∴64＋4BD2＝2(92＋72)，

∴BD2＝49，

即BD＝7．

∴AC边上的中线长为7.