高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理第1课时一课一练

课后素养落实(十七)　正弦定理(1)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)

A．＋1   B．2＋1

C．2   D．2＋2

C　[由已知及正弦定理，得＝，

∴b＝＝＝2．]

2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)

A．45°或135°   B．135°

C．45°   D．以上答案都不对

C　[∵sin B＝＝＝，

∴B＝45°或135°．

∵a>b，

∴B＝45°，故选C．]

3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是(　　)

A．sin A>sin B   B．cos A<cos B

C．sin 2A>sin 2B   D．cos 2A<cos 2B

C　[A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A<cos B，B正确．

cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－sin2B，

∵sin A>sin B>0，∴sin2A>sin2B，

∴cos 2A<cos 2B，D正确．]

4．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，

∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，

∴a∶b∶c＝5∶7∶8，

∴cos B＝＝，

∴B＝．故选A．]

5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰三角形

B　[∵a＝bsin A，

∴＝sin A＝，

∴sin B＝1，

又∵B∈(0，π)，

∴B＝，

即△ABC为直角三角形．]

二、填空题

6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．

　[由三角形内角和定理知A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝．]

7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．

1　[在△ABC中，∵sin B＝，0<B<π，∴B＝或B＝．

又∵B＋C<π，C＝，

∴B＝，

∴A＝π－－＝．

∵＝，

∴b＝＝1．]

8．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．

2　[由正弦定理可知＝，即＝，解得AC＝2．]

三、解答题

9．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．

[解]　由正弦定理及已知条件有＝，得sin A＝．

∵a>b，∴A>B＝45°，

∴A＝60°或120°．

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，

c＝＝＝；

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，

c＝＝＝．

综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝．

10．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b．

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，b＝，求c的值．

[解]　(1)由acos C＋c＝b，

得sin Acos C＋sin C＝sin B．

因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，

所以sin C＝cos Asin C．

因为sin C≠0，所以cos A＝．

因为0＜A＜π，所以A＝．

(2)由正弦定理，得sin B＝＝．

所以B＝或．

①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；

②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1．

综上可得c＝1或2．

11．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)

A．60°  B．75°  C．90°  D．115°

B　[不妨设a为最大边，c为最小边，

由题意有＝＝，

即＝．

整理得(3－)sin A＝(3＋)cos A．

∴tan A＝2＋．

又∵A∈(0°，120°)，

∴A＝75°，故选B．]

12．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B＝sin Asin C，则角B不可能是(　　)

A．45°  B．60°  C．75°  D．90°

CD　[sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac，

由余弦定理得cos B＝≥＝1－＝．

当且仅当a＝c时等号成立，

又B∈(0°，180°)，则0°<B≤60°，故选CD．]

13．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝________．

　[由＝，得sin C＝．

∵BC＝3，AB＝，

∴A>C，则C为锐角，故C＝．]

14．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________．

2　[∵A∶B∶C＝1∶2∶3，

∴A＝30°，B＝60°，C＝90°．

∵＝＝＝＝2，

∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，

∴＝2．]

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．

(1)求b和sin A的值；

(2)求sin的值．

[解]　(1)在△ABC中，因为a＞b，

故由sin B＝，可得cos B＝．

由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，

所以b＝．

由正弦定理＝，

得sin A＝＝．

所以b的值为，sin A的值为．

(2)由(1)及a＜c，得cos A＝，

所以sin 2A＝2sin Acos A＝，

cos 2A＝1－2sin2A＝－．

故sin＝sin 2Acos ＋cos 2Asin

＝×＝．