苏教版 (2019)第12章 复数12.4 复数的三角形式第2课时课堂检测

课后素养落实(二十二)　复数的乘方与除法

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．i为虚数单位，＝(　　)

A．－1  B．1  C．－i  D．i

A　[＝＝＝－1.]

2．＝(　　)

A．－－i   B．－＋i

C．－－i   D．－＋i

D　[＝＝－＋i，故选D.]

3．i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)

A．i  B．－i  C．1  D．－1

A　[因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i，所以应选A.]

4．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)

A．－1 024  B．1 024  C．0  D．512

C　[(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.]

5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　)

A．  B．  C．1  D．2

A　[∵z＝＝＝

＝＝＝－＋，

∴＝－－，

∴z·＝.]

二、填空题

6．复数的共轭复数是________．

－1＋2i　[∵＝＝－1－2i.

∴的共轭复数是－1＋2i.]

7．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是________．

2　[＝＝，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.]

8．设i是虚数单位，则等于________．

－1　[∵＝－＝＝－i，

∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.]

三、解答题

9．计算：(1)＋；

(2)＋＋.

[解]　(1)原式＝＋i6

＝i＋i2＝i－1.

(2)原式＝＋＋

＝i＋＋

＝i＋(－i)＋0＝0.

10．(1)若＝－i，求实数a的值；

(2)若复数z＝，求＋3i.

[解]　(1)依题意，得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，

∴a＝－.

(2)∵z＝＝

＝i(1＋i)＝－1＋i，

∴＝－1－i，

∴＋3i＝－1＋2i.

11．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)

A．a－5b＝0  B．3a－5b＝0

C．a＋5b＝0  D．3a＋5b＝0

D　[z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意，得＝－－b，即3a＋5b＝0.]

12．(多选题)已知复数z＝－i，则下列结论正确的有(　　)

A．z·＝1   B．z2＝

C．z3＝－1   D．z2 020＝－＋i

ACD　[∵z＝－i，

∴z·＝|z|2＝＝1，故A正确；

z2＝＝－i－＝－－i，故B错误；

z3＝z2z＝＝－－＝－1，故C正确；

∵z6＝z3·z3＝1，

∴z2 020＝z6×336＋4＝z4＝z3·z＝－z＝－＋i，故D正确．故选ACD.]

13．当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________．

－i　[z2＝＝－i，

∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1

＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.]

14．若方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根为x＝________.

　－　[化简x2－(2i－1)x＋3m－i＝0得(x2＋x＋3m)＋(－2x－1)i＝0，所以x2＋x＋3m＝0，－2x－1＝0，解得x＝－，m＝.]

15．已知复数z＝1＋2i(i为虚数单位)．

(1)若z·z0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数；

(2)若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值．

[解]　(1)设z0＝a＋bi(a，b∈R)，代入z·z0＝2z＋z0得(1＋2i)·(a＋bi)＝2(1＋2i)＋(a＋bi)，

即(a－2b)＋(2a＋b)i＝(2＋a)＋(4＋b)i，

∴

解得

∴z0＝2－i，

∴复数z0的共轭复数0＝2＋i.

(2)∵复数z＝1＋2i是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，

∴(1＋2i)2－(1＋2i)m＋5＝0，整理得2－m＋(4－2m)i＝0，

∴2－m＝0，且4－2m＝0，

解得m＝2.