高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式练习

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(二十四)　复数的三角形式*(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列表示复数1＋i的三角形式中①；②；③；④，正确的个数是(　　)A．1  B．2  C．3  D．4B　[∵r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，∴辐角主值为，∴1＋i＝＝，故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选B.]2．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)A．B．[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]C．D．A　[因为1＋i＝，cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝＝.]3．计算的结果是(　　)A．－9　  B．9　  C．－1　  D．1B　[＝9＝9＝9，故选B.]4．若复数z＝r(cos θ＋isin θ)(r＞0，θ＜R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　)A．1＋i　  B．1－i　  C．－i　  D．＋iD　[由复数z的模为2，辐角为，可得z＝2＝－1＋i.所以＝＝＝＋i.故选D.]5．适合＝1且arg z＝π的复数z的个数是(　　)A．0  B．1  C．2  D．无穷多[答案]　C二、填空题6．复数的代数形式是________．－i 　[ ＝ cos－isin ＝－i.]7．设z＝1－2i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________．－　[所得向量对应的复数为(1－2i)·＝(1－2i)＝－i，故虚部为－.]8．复数1＋i的辐角主值是 ________，三角形式是________．　　[复数1＋i的模是＝，因为1＋i对应的点在第一象限且辐角的正切tan θ＝1，它的辐角主值为.三角形式为.]三、解答题9．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．[解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，所以z2＝，z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2，所以z1的立方根为，k＝0，1，2，即，，.10．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈.(1)求z的三角形式；(2)记A、B、C分别表示复数z、ω、－2ω在复平面上的对应点．已知A、B、C三点成逆时针顺序，且△ABC为等边三角形，求tan(arg ω)．[解]　(1)由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.∵arg z∈，∴z＝－1－i应舍去，∴z＝－1＋i＝2.(2)由题意，CA：z－(－2ω)＝z＋2ω，CB：ω－(－2ω)＝3ω，∵|CA|＝|CB|，A、B、C三点位置成逆时针顺序，又∠ACB＝，∴把CA按逆时针方向旋转60°即得CB，∴3ω＝(z＋2ω)，将z＝2代入上式，解得ω＝－，由点B在第三象限知tan(arg ω)＝.11．复数z＝tan θ＋i的三角形式是(　　)A．(sin θ＋icos θ)B．(cos θ＋isin θ)C．－D．－D　[因为<θ<π，所以cos θ<0，所以z＝tan θ＋i＝－[－sin θ＋i(－cos θ)]＝－，故选D.]12．(多选题)任何一个复数z＝a＋bi(其中a、b∈R，i为虚数单位)都可以表示成：z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　)A．|z2|＝|z|2B．当r＝1，θ＝时，z3＝1C．当r＝1，θ＝时，＝－iD．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数AC　[对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则z2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，可得|z2|＝|r2(cos 2θ＋isin 2θ)|＝r2，|z|2＝|r(cos θ＋isin θ)|2＝r2，A选项正确；对于B选项，当r＝1，θ＝时，z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，B选项错误；对于C选项，当r＝1，θ＝时，z＝cos ＋isin ＝＋i，则＝－i，C选项正确；对于D选项，zn＝(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ＝cos ＋isin ，取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，D选项错误．故选AC.]13．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，对eπi表示的复数z，则|z|等于________；等于________．1　i　[由欧拉公式eix＝cos x＋isin x，可得e＝cos π＋isin π＝－＋i，所以|z|＝＝1，＝＝i.]14．复数z＝cos＋isin是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________. ＋i　[由题意得，α＝＝cos＋isin＝＋i.]15．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．[解]　由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β.∵△AOB的重心G对应的复数为＋i，∴＝＋i，即，∴ ∴tan＝，故tan(α＋β)＝ ＝.