人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质当堂达标检测题

2.2　不等式

2.2.1　不等式及其性质

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(多选题)(2021湖北高一开学考试)下列命题中为真命题的是(　　)

A.若a>b,则>1

B.若ac2≥bc2,则a≥b

C.若c>a>b>0,则

D.若a>b,则

答案CD

解析若a=1,b=-1时,a>b成立,>1显然不成立,故A错误;c=0,a=1,b=2满足ac2≥bc2,但a<b,故B错误;若c>a>b>0,则c-a>0,c-b>0,a-b>0,可得>0,所以,故C正确;若a>b,则,故D正确.故选CD.

2.要证成立,a,b应满足的条件是(　　)

A.ab<0且a>b

B.ab>0且a>b

C.ab<0有a<b

D.ab>0且a>b或ab<0且a<b

答案D

解析要证,只需证()3<()3,即证a-b-3+3<a-b,即证,只需证ab2<a2b,即证ab(b-a)<0.只需ab>0且b-a<0或ab<0,且b-a>0.故选D.

3.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元,而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元.则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较,结果是(　　)

A.2枝牡丹花贵 B.3枝月季花贵

C.相同 D.不确定

答案A

解析设1枝牡丹花和1枝月季花的价格分别为x,y,则4x+5y<22,6x+3y>24,而2枝牡丹花和3枝月季花的价格之差为2x-3y,设2x-3y=m(4x+5y)+n(6x+3y)=(4m+6n)x+(5m+3n)y,则4m+6n=2,5m+3n=-3,所以,m=-,n=,即2x-3y=-(4x+5y)+(6x+3y)>-×22+×24=0,所以2x-3y>0,即2x>3y,2枝牡丹花贵.

4.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a;⑤b<a,且ab>0;⑥a<b,且ab<0.其中能使成立的是　　　　　. 

答案①②④⑤⑥

解析因为<0⇔b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都满足条件.

5.(2020天津静海一中高一月考)已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:①若ab>0,bc-ad>0,则>0;②若a<b<0,c<d<0,则ac>bd;③若bc-ad>0,bd>0,则.其中正确的命题有　　　　. 

答案①②③

解析若ab>0,bc-ad>0,∴>0,故①正确;

若a<b<0,c<d<0,则-a>-b>0,-c>-d>0,∴ac>bd,故②正确;

若bc-ad>0,bd>0,则>0,即>0,

∴,则+1>+1,即,

∴,故③正确.

6.已知a>b>0,c<d<0,m<0,证明:

(1);

(2).

证明(1)∵a>b>0,-c>-d>0,

∴a-c>b-d>0,∴.

(2)又m<0,∴.

7.(1)已知-<a<b<,求a-b的取值范围;

(2)已知实数a,b满足-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-3b的取值范围.

解(1)由题意,-<b<,则-<-b<,

因为-<a<,所以-1<a-b<1,

又a<b,即a-b<0,则-1<a-b<0.

故a-b的取值范围是(-1,0).

(2)设9a-3b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,

则解得m=1,n=2.

所以-4≤a-b≤-1,-2≤2(4a-b)≤10,

则-6≤9a-3b≤9.

故9a-3b的取值范围是[-6,9].

等级考提升练

8.(2021广西河池高二期末)已知a,b,c,d为实数,则下列命题中正确的是(　　)

A.若a<b且ab≠0,则

B.若且c≠0,则a>b

C.若a2<b2,c2<d2,则a2-c2<b2-d2

D.若a2<b2,c2<d2,则a2c2<b2d2

答案D

解析对于A选项,取a=-1,b=1,则a<b满足,但此时,所以A选项错误;对于B选项,由于且c2>0,所以a<b,所以B选项错误;对于C选项,取a=c=,b=d=,则a2<b2,c2<d2成立,但是a2-c2=b2-d2,所以C选项错误;对于D选项,当a,c中至少有一个为零时,则b2d2>0,此时a2c2=0<b2d2;当a≠0,且c≠0时,b2>a2>0,d2>c2>0,有b2d2>a2c2,所以D选项正确.故选D.

9.(多选题)(2020山东高一期末)已知a>b>1,给出下列不等式:①a2>b2;②;③a3+b3>2a2b;④a+>b+;

则其中一定成立的有(　　)

A.① B.② C.③ D.④

答案ABD

解析a>b>1,则a2>b2,①正确;⇔a-b>a+b-2⇔b<⇔b<a,②正确;取a=2,b=,计算得到a3+b3=8+<2a2b=12,③错误;a+>b+⇔a-b+>0⇔(a-b)1+>0,④正确.

10.能说明“若a>b,则”为假命题的一组a,b的值依次为　　　　　. 

答案1,-1(答案不唯一)

解析易知当a>0>b时,“若a>b,则”为假命题,不妨取a=1,b=-1.

11.若a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,b-c=a2-4a+4,试比较a,b,c三个实数的大小.

解∵b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0,∴b≥c.

由题意可得方程组

解得b=2a2-4a+5,c=a2+1.

∴c-a=a2+1-a=>0,∴c>a,故b≥c>a.

新情境创新练

12.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　)

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

答案B

解析用线段代替人身高,如图.

已知≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,

设此人身高为hcm,则a+b=h,

由⇒a>64.89,由⇒d<42.07,

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

由⇒b<110.15,

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22(单位:cm).