高中数学第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.3 一元二次不等式的解法练习

2.2.3　一元二次不等式的解法

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=(　　)

A.⌀ B.{2} C.{5} D.{2,5}

答案B

解析由题意知集合A={x∈N|x≥},则∁UA={x∈N|2≤x<}={2},故选B.

2.不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1或x≤-6}

C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1或x≤-6}

答案C

解析不等式≥0等价于解得-6≤x<1.故不等式≥0的解集为{x|-6≤x<1}.

3.(多选题)下列各项可以作为不等式>x+1的解集的子集的是(　　)

A.{x|x<-3} B.{x|x>5}

C.{x|x<-} D.{x|1<x<}

答案ACD

解析原不等式可化为x+1-<0,即<0,即<0,即<0,等价于(x+)(x-)(x-1)<0,令(x+)(x-)(x-1)=0得x1=-,x2=1,x3=,如图,

∴原不等式的解集为{x|x<-或1<x<},

则ACD是其子集.

4.不等式-x2+x+≤0的解集是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

答案B

解析∵-x2+x+≤0,∴x2-x-≥0,即(x-1)x+≥0,解得x≤-或x≥1,故选B.

5.(2021福建泉州高一期末)若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-≤x≤-,则a=(　　)

A.-6 B.-5 C. D.6

答案A

解析∵不等式ax2+bx-1≥0的解集为x-≤x≤-,

∴-,-为方程ax2+bx-1=0的两个根,

∴根据根与系数的关系可得,,解得a=-6.

故选A.

6.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=,则A∩(∁RB)=　　　　. 

答案(-1,1]

解析由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.

∴A={x|x2+x-2≤0}=[-2,1],

由≥0,得x≤-1或x>2.

∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则∁RB=(-1,2],

∴A∩(∁RB)=(-1,1].

7.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　. 

答案20

解析由已知,3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000,

化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,

解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去).

所以x≥20,即x的最小值为20.

8.某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.

解设花坛的宽度为xm,则中间矩形绿草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,

根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥×800×600,

整理得x2-700x+60000≥0,

解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,

由题意知x>0,所以0<x≤100.

当x在(0,100]之间取值时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

等级考提升练

9.使不等式x2-x-6<0成立的一个充分不必要条件是 (　　)

A.-2<x<0 B.-3<x<2

C.-2<x<3 D.-2<x<4

答案A

解析由x2-x-6<0得(x+2)(x-3)<0,得-2<x<3,若使不等式x2-x-6<0成立的一个充分不必要条件,则对应范围是(-2,3)的一个真子集,即-2<x<0,满足条件,故选A.

10.如果对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是(　　)

A. B.[2,8]

C.[2,8) D.[2,7]

答案C

解析由4[x]2-36[x]+45<0,得<[x]<.又[x]表示不大于x的最大整数,得2≤x<8.

11.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为-,2,则下列结论正确的是(　　)

A.a>0 B.b>0

C.c>0 D.a+b+c>0

答案BCD

解析因为不等式ax2+bx+c>0的解集为-,2,故相应的二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像开口向下,所以a<0,故A错误;

易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=-1<0,->0,又a<0,故b>0,c>0,故BC正确;

由二次函数的图像可知f(1)=a+b+c>0,故D正确.

12.(2020山东菏泽高三期中)若不等式ax2+bx+2<0的解集为xx<-或x>,则=　　　　. 

答案

解析因为不等式ax2+bx+2<0的解集为xx<-或x>,

所以a<0,且-是方程ax2+bx+2=0的两个根,

即有-=-,-,解得a=-12,b=-2,则.

13.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(1,m),则实数a的值为　　　　　,m的值为　　　　　. 

答案2　2

解析由题意可知不等式ax2-6x+a2=0可化为a(x-1)(x-m)<0的形式且a>0,所以解得m=2,所以a=2.

14.解下列不等式:

(1)x4-x2-2≥0;　　　(2)2x->1.

解(1)由题意,可得不等式x4-x2-2=(x2-2)(x2+1)≥0,解得x2≥2,解得x≤-或x≥,即不等式的解集为{x|x≤-或x≥};

(2)设t=(t≥0),则不等式2x->1,可化为2t2-t-1>0,

解得t>1或t<-(舍去),即>1,解得x>1,即不等式的解集为{x|x>1}.

15.已知a∈R,设集合A={x|x2-(6a+1)x+9a2+3a-2<0},B={x|1-|x+a|≥0}.

(1)当a=1时,求集合B;

(2)问:a≥是A∩B=⌀的什么条件.(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)并证明你的结论.

解(1)由1-|x+1|≥0,得|x+1|≤1,即-1≤x+1≤1,-2≤x≤0,所以B=[-2,0].

(2)充分不必要条件,证明如下,

由题意A=(3a-1,3a+2),B=[-a-1,-a+1],若A∩B=⌀,则3a+2≤-a-1或3a-1≥-a+1,解得a≤-或a≥.

∴a≥是A∩B=⌀的充分不必要条件.

16.(2020四川成都华阳中学高一期中)已知不等式ax2-3x+2>0.

(1)若a=-2,求不等式的解集;

(2)若不等式的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值.

解(1)当a=-2时,得-2x2-3x+2>0,

因式分解得(2x-1)(x+2)<0,

解得-2<x<.

故不等式的解集为x-2<x<.

(2)由不等式的解集为{x|x<1或x>b},可知1和b是ax2-3x+2=0的两个根,所以解得

新情境创新练

17.已知关于x的不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R)的解集为M.

(1)若M=R,求k的取值范围;

(2)若存在两个不相等负实数a,b,使得M=(-∞,a)∪(b,+∞),求实数k的取值范围;

(3)是否存在实数k,满足:“对于任意正整数n,都有n∈M,对于任意的负整数m,都有m∉M”,若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.

解(1)当k2-2k-3=0时,k=-1或k=3,

当k=-1时,1>0恒成立,

当k=3时,4x+1>0⇒x>-不恒成立,舍去,

当k2-2k-3≠0时,

解得k>或k<-1.

综上可知k≤-1或k>.

即k的取值范围为(-∞,-1]∪,+∞.

(2)根据不等式解集的形式可知k2-2k-3>0⇒x>3或x<-1,∵不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根,

即(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1=0(k∈R)有两个不相等的负根,即解得3<k<.

综上可知3<k<.即k的取值范围是3,.

(3)存在.根据题意可知,得出解集M=(t,+∞),t∈[-1,1),

当k2-2k-3=0时,解得k=3或k=-1,

当k=-1时,1>0恒成立,不满足条件,

当k=3时,不等式的解集是-,+∞,满足条件;

当k2-2k-3>0时,此时一元二次不等式的解集形式不是(t,+∞)的形式,不满足条件;

当k2-2k-3<0时,此时一元二次不等式的解集形式不是(t,+∞)的形式,不满足条件.综上,满足条件的k的值为3.