高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性课时训练

3.1.3　函数的奇偶性

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是(　　)

答案B

2.(多选题)下列函数既是奇函数又是增函数的为(　　)

A.y=x+1 B.y=x 

C.y= D.y=x|x|

答案BD

解析选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项B是奇函数,是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数,符合题意.

3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f= (　　)

A.- B.- C. D.

答案C

解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,则f=f=f.故选C.

4.(2021安徽合肥高一期末)若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)

A.单调递增,且有最小值f(1)

B.单调递增,且有最大值f(1)

C.单调递减,且有最小值f(2)

D.单调递减,且有最大值f(2)

答案C

解析由于奇函数的图像关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.

5.(多选题)(2020辽宁高一检测)已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数,且对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),总有>0,则下列结论正确的是(　　)

A.f(-6)<f(0) B.f(0)<f(-3)

C.f(0)<f(-6) D.f(-3)<f(0)

答案CD

解析因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有>0,不妨设0≤x1<x2,因为>0,所以f(x1-2)-f(x2-2)<0,f(x1-2)<f(x2-2),所以f(x-2)在[0,+∞)上是增函数,所以f(x)在[-2,+∞)上是增函数.因为f(x-2)是偶函数,所以f(x-2)的图像关于y轴对称,故f(x)的图像关于直线x=-2对称,所以f(-6)=f(2),f(-3)=f(-1),则f(-3)<f(0)<f(-6).故选CD.

6.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间[-7,-3]上的最　　　　　(填“大”或“小”)值为　　　　　. 

答案大　-5

解析由题意知f(3)=5,根据奇函数在对称区间上的单调性一致并结合图像可得f(x)在[-7,-3]上为增函数,且在x=-3处取得最大值,f(-3)=-f(3)=-5.

7.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图像如图所示,则它在[-1,0]上的解析式为　　　　　. 

答案f(x)=x+2

解析由题意知f(x)在[-1,0]上为一线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b(k≠0),将(-1,1),(0,2)代入得k=1,b=2.

8.已知函数f(x)=是奇函数,则m=　　　　　. 

答案2

解析当x<0时,-x>0,

f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x.

∴f(x)=x2+2x=x2+mx,即m=2.

9.已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,b∈R)为R上的偶函数.

(1)求a,b的关系式;

(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.

解(1)∵f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,∴f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,

∴(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,

即2(a+b)x=0对于x∈R恒成立,

∴a+b=0,即b=-a.

(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.

当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;

当a≠0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=±a.

综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为{0};

当a≠0时,方程f(x)=0的解集为{-a,a}.

10.(2020江苏高一月考)已知定义在[-3,3]上的函数y=f(x)是增函数.

(1)若f(m+1)>f(2m-1),求m的取值范围;

(2)若函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,解不等式f(x+1)+1>0.

解(1)由题意可得,解得-1≤m<2,即m的范围是[-1,2).

(2)∵函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,

∴f(-2)=-f(2)=-1,

∵f(x+1)+1>0,∴f(x+1)>-1,

∴f(x+1)>f(-2),∴

∴-3<x≤2.

∴不等式的解集为{x|-3<x≤2}.

等级考提升练

11.设f(x)是(-∞,+∞)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于 (　　)

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

答案B

解析由已知,可得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-[-f(3.5)]=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

12.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数 

B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 

D.|f(x)g(x)|是奇函数

答案C

解析∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;

对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;

对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;

对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.

13.(多选题)有下列几个命题,其中正确的命题是(　　)

A.函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上是增函数

B.函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数

C.函数y=的单调区间是[-2,+∞)

D.已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

答案AD

解析由y=2x2+x+1=2x+2+在-,+∞上单调递增可知,函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上是增函数,故A正确;y=在(-∞,-1),(-1,+∞)上均是减函数,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不是减函数,如-2<0,但,故B错误;y=在[-2,-1)上无意义,从而在[-2,+∞)上不是单调函数,故C错误;由a+b>0得a>-b,又f(x)在R上递增,所以f(a)>f(-b),同理,f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故D正确.

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

答案C

解析因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x,作出f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1.

15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 

答案f(x)=

解析设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.

因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).

所以-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.

所以x<0时,f(x)=x3+x-1,

又因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(0)=0,

所以f(x)=

16.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=

(2)f(x)=

解(1)当x<0时,-x>0,则有

f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);

当x>0时,-x<0,则有

f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).

综上所述,因为对任意不为0的x,都有f(-x)=-f(x)成立,所以f(x)为奇函数.

(2)f(x)的定义域为(-6,-1]∪[1,6),关于原点对称.

当x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6),

f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);

当x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1],

f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x).

综上可知,对于任意x∈(-6,-1]∪[1,6),都有f(-x)=f(x),

所以f(x)=是偶函数.

17.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,f=0.

(1)求f(0),f(π)的值;

(2)求证:f(x)是偶函数.

(1)解∵对任意x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),

∴令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0).

又∵f(0)≠0,∴f(0)=1.

令x=y=,则有f(π)+f(0)=2f,

∵f=0,∴f(π)+f(0)=0.

∴f(π)=-1.

(2)证明令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),

∴f(-y)=f(y).∴f(x)是偶函数.

新情境创新练

18.(2021吉林高一月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)求函数f(x)在R上的解析式;

(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.

解(1)由题意知,当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).

又函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0),所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).

(2)设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

由已知f(x)=f(-x),所以当x<0时,f(x)=x2+2x,

所以f(x)=

(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x∈[1,2],

对称轴为直线x=a+1.

当a<0时,a+1<1,此时函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,

故函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;

当0≤a≤1时,1≤a+1≤2,此时函数g(x)在对称轴处取得最小值,故函数g(x)的最小值为g(1+a)=-a2-2a+1;

当a>1时,a+1>2,此时函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,

故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.

综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=