高中人教B版 (2019)3.2 函数与方程、不等式之间的关系当堂检测题

3.2　函数与方程、不等式之间的关系

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.如图所示的四个函数图像,在区间(-∞,0)内,函数fi(x)(i=1,2,3,4)中有零点的是(　　)

A.f1(x) B.f2(x) 

C.f3(x) D.f4(x)

答案B

解析由函数图像可知,f2(x)在(-∞,0)内与x轴有交点,故f2(x)在(-∞,0)内有零点.

2.(多选题)函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点所在的区间可能是(　　)

A.0, B.

C. D.

答案AD

解析由于f(0)<0,f(-2)<0,f(4)>0,

f(1)<0,f>0,f<0,

所以零点在区间,0,内.

3.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为(　　)

A.[-1,0] B.[0,1] 

C.[1,2] D.[2,3]

答案C

4.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图像是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上(　　)

A.至少有一个实数根

B.至多有一个实数根

C.没有实数根

D.必有唯一的实数根

答案D

解析由题意知函数f(x)为连续函数,∵f(a)f(b)<0,∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,∵函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,∴函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点,故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]内必有唯一的实数根.故选D.

5.若函数f(x)在定义域{x|x≠0}内是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有 (　　)

A.一个 B.两个

C.至少两个 D.无法判断

答案B

解析∵函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,f(2)=0,

∴f(x)在(0,+∞)内的图像与x轴只有一个交点,

又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数,

∴f(x)在(-∞,0)内的图像与x轴也只有一个交点,即f(-2)=0.故选B.

6.(2020福建高三学业考试)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点个数为　　　　. 

答案3

解析当x<0时,f(x)=x2+x,

令f(x)=0,得x=-1或x=0(舍掉);

当x≥0时,f(x)=x2-2x,

令f(x)=0,得x=2或x=0.

所以函数f(x)的零点个数为3.

7.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

则不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　. 

答案{x|x<-2或x>3}

解析由题表可知f(-2)=f(3)=0,且当x∈(-2,3)时,f(x)<0,所以当x∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax2+bx+c>0.

8.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.

解设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,

由题意知

即

解得<k<,即实数k的取值范围是.

9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有200多根电线杆.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

解可以利用二分法的原理进行查找.

如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.

这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50m~100m之间,即一、二根电线杆附近.

等级考提升练

10.(多选题)若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是 (　　)

A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点

B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点

C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点

D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点

答案AC

解析因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1)<0,因为函数f(x)的图像在R上连续不断,由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.故选AC.

11.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1) B.(1,+∞)

C.(-1,1) D.[0,1)

答案B

解析令f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a≠0时,若Δ=0,即a=-,此时x=-2,不符合题意;若Δ>0,即a>-,则有f(0)f(1)=-1×(2a-2)<0,所以a>1.

12.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则 (　　)

A.a>0,b>0,c>0 

B.a>0,b>0,c<0

C.a<0,b<0,c>0 

D.a<0,b<0,c<0

答案B

解析图像经过(0,0),(-2,0),(1,0)三个点.由图像过原点(0,0),知d=0.由图像过另外两点,可知f(x)=ax(x+2)(x-1),即f(x)=ax3+ax2-2ax.又由图像,得f(2)=2a(2+2)×(2-1)>0,可得a>0.又f(x)=ax3+bx2+cx+d,所以b=a>0,c=-2a<0.综上可知a>0,b>0,c<0.

13.在R上定义运算☉:A☉B=A(1-B),若不等式(x-a)☉(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-1,1) B.(0,2)

C.- D.-

答案C

解析∵(x-a)☉(x+a)=(x-a)(1-x-a),∴不等式(x-a)☉(x+a)<1,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立,即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-<a<,故选C.

14.函数f(x)=x2-+1的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案B

解析令f(x)=0得x2-+1=0,∴x2+1=,作出函数y=x2+1与y=的图像,由于两个函数的图像只有一个交点,所以零点个数为1.

15.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)上,则下一步可判定该根所在区间为　　　　　. 

答案

解析令函数f(x)=x3-2x-1,则可得f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0,又f-2×-1=-<0,则下一步可判定该根所在区间为.

16.定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)内是减函数,函数f(x)的一个零点为,求f(x2-x)<0的解集.

解∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),

又函数f(x)的一个零点为,∴f=0.

由f(x)在[0,+∞)内是减函数,得f(x2-x)=f(|x2-x|)<0=f,可化为|x2-x|>,解得x<或x>.

∴f(x2-x)<0的解集为xx<或x>.

17.已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点.

(1)求m的范围;

(2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m的值.

解(1)当m+6=0,即m=-6时,

函数为y=-14x-5显然有零点,

当m+6≠0,即m≠-6时,

∵由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0,得m≤-.

∴当m≤-,且m≠-6时,二次函数有零点.

综上,m的取值范围为-∞,-.

(2)设x1,x2是函数的两个零点,则有

x1+x2=-,x1x2=.

∵=-4,即=-4,

∴-=-4,

解得m=-3.

当m=-3时,m+6≠0,Δ>0符合题意,

∴m的值为-3.

新情境创新练

18.已知函数f(x)=2x2-8x+m+3为R上的连续函数.

(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围;

(2)若m=-4,判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点?若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.

解(1)易知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,

∵f(x)在区间[-1,1]上存在零点,

∴

∴-13≤m≤3,

∴实数m的取值范围是[-13,3].

(2)存在.当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,易求出f(-1)=9,f(1)=-7.

∵f(-1)·f(1)<0,f(x)在区间(-1,1)上单调递减,

∴函数f(x)在(-1,1)上存在唯一零点x0.

∵f(0)=-1<0,∴f(-1)·f(0)<0,

∴x0∈(-1,0).

此时0-(-1)=1>0.2,

∵f-=>0,

∴f-·f(0)<0,

∴x0∈-,0.

此时0--=>0.2,

∵f-=>0,

∴f-·f(0)<0,

∴x0∈-,0.

此时0--=>0.2,

∵f-=>0,

∴f-·f(0)<0,

∴x0∈-,0.

此时=0.2,满足精确度,停止二分,

∴所求区间为-,0.