高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.5 增长速度的比较一课一练

课后素养落实(八)　增长速度的比较

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)

A．k1＞k2　　　　 B．k1＝k2

C．k1＜k2 D．不确定

B　[由平均变化率的几何意义知k1＝k2.故选B．]

2．函数f(x)＝在区间[1,4]上的平均变化率为(　　)

A． B．

C．1 D．3

A　[＝，故选A．]

3．函数f(x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，其中Δx＞0，则k1，k2的大小关系是(　　)

A．k1＜k2 B．k1＞k2

C．k1＝k2 D．无法确定

B　[∵＝＝x2＋x1，∴k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx.∴k1－k2＝2Δx.又∵Δx＞0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.故选B．]

4．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　)

A．2　 B．1 

C．－1　　　　 D．6

B　[由已知，得＝26，即(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．选B．]

5．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　)

A．2x＞x＞lg x B．2x＞lg x＞x

C．x＞2x＞lg x D．lg x＞x＞2x

A　[结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图像易知当x∈(0,1)时，2x＞x＞lg x．]

二、填空题

6．函数f(x)＝xex在区间[1,3]上的平均变化率为________．

　[＝

＝＝.]

7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．

f(x)＞g(x)　[在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像恒在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．]

8．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．

y＝x2　[当x变大时，x比ln x增长要快，

∴x2要比xln x增长的要快．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，分别计算这两个函数在区间[1,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．

[解]　＝＝，

所以函数f(x)＝3x在区间[1,4]上的平均变化率为＝26.

＝＝，所以函数g(x)＝log2x在区间[1,4]上的平均变化率为＝＝.

因为26＞，所以函数f(x)＝3x在区间[1,4]上的平均变化率大于函数g(x)＝log2x在区间[1,4]上的平均变化率．

10．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x.

(1)计算函数f(x)及g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小；

(2)求使f(1＋Δx)＜g(1＋Δx)的Δx的取值范围．

[解]　(1)函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为

＝＝2.

函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝－2.

因为2＞－2，所以函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率大于g(x)在[－3，－1]上的平均变化率．

(2)f(1＋Δx)＝3＋2Δx，

g(1＋Δx)＝－2－2Δx，

解f(1＋Δx)＜g(1＋Δx)得Δx＜－，

即Δx的取值范围是.

11．已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：

则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)

A．y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x

B．y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x

C．y1＝log2x，y2＝2x，y3＝2x

D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝2x

B　[从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．]

12．(多选题)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．

横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　)

A．投资3天以内(含3天)，采用方案一

B．投资4天，不采用方案三

C．投资6天，采用方案一

D．投资12天，采用方案二

ABC　[由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；

投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；

投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；

投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．]

13．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数函数变化的变量是________．

y2　[从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．

以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．

从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．]

14．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．

3　[设1个细菌分裂x次后有y个细菌，则y＝2x，令2x＝4 096＝212，则x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时．]

15．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)

[解]　本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．

本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．

由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的投资更有利，5年后多得利息3.86万元.