人教B版 (2019)必修 第二册4.7 数学建模活动:生长规律的描述练习

课后素养落实(九)　函数的应用(二)数学建模活动：生长规律的描述

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　)

A．一次函数　　　 B．二次函数

C．指数型函数 D．对数型函数

D　[结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D．]

2．某校甲、乙两食堂2020年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知2020年9月份两食堂的营业额又相等，则2020年5月份营业额较高的是(　　)

A．甲 B．乙

C．甲、乙营业额相等 D．不确定

A　[设甲以后每个月比前一个月增加相同的营业额a，乙每个月比前一个月增加营业额的百分比为x,1月份的营业额设为1，由题意得1＋8a＝1×(1＋x)8,5月份甲的营业额为1＋4a,5月份乙的营业额为1×(1＋x)4，即.

因为(1＋4a)2－(1＋8a)＝16a2＞0，所以1＋4a＞，所以2020年5月份营业额较高的是甲．]

3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)

A．2020年 B．2021年

C．2022年 D．2023年

B　[若2018年是第一年，则第n年科研经费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n＞2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12＞lg 2，得n×0.05＞0.19，n＞3.8，n≥4，即到2021年科研经费超过2 000万元．]

4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第7年它们发展到(　　)

A．300只 B．400只

C．500只 D．600只

A　[当x＝1时，y＝100，得a＝100，故当x＝7时，y＝100log28＝300.]

5．碳十四是一种具有放射性的同位素，于1940年被首次发现，美国科学家应用碳十四发明了碳十四年代测定法，并获得了1960年的诺贝尔化学奖．已知当生物死亡时，它体内原有的碳十四含量按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间叫做半衰期，据此规律，生物体内碳十四的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为(　　)

A．P＝ B．P＝

C．P＝ D．P＝

C　[根据大约每经过5 730年衰减为原来的一半，生物体内碳十四的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝.]

二、填空题

6．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

2ln 2　1 024　[当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e，

∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.

当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.]

7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．

e6－1　[当v＝12 000时，2 000ln＝12 000，

∴ln＝6，∴＝e6－1．]

8．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则到第7年它们的数量为________只．

300　[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]

三、解答题

9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．

[解]　据表中数据作出散点图如图：

由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．

不妨将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.

故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．

当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，

故可预测第8年松树的高度为2米．

10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)

[解]　法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为×.

依题意，得×≤，即≤，

∵＝＞，＝＜，

∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．

法二：接法一：≤，

则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，

即n≥≈7.4，又n∈N*，

∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．

11．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)

A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)

C．y＝ D．y＝0.2＋log16x

C　[A选项是一次函数，而沙漠增加值无这种倍数关系，显然不适合；

B选项将三点代入，函数值与实际值差的太大，不适合；

C选项将x＝1,2,3分别代入得y＝0.2,0.4,0.8，与实际增加值比较接近；

D选项将x＝2代入得y＝0.45，将x＝3代入得y≈0.6，与实际值相差太多．]

12．(多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述，其中正确的是(　　)

A．这个指数函数的底数为2

B．第5个月时，浮萍面积会超过30 m2

C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月

D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2，所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3

ABD　[∵点(1,2)在函数图像上，∴a1＝2，即a＝2，故A正确．

∵函数y＝2t在R上为增函数，且当t＝5时，y＝32，故B正确．

4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5<12.故C不正确；对于D,2＝2x1，3＝2x2，6＝2x3，

∴x1＝1，x2＝log23，x3＝log26，

又∵1＋log23＝log22＋log23＝log26，

∴若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3成立．]

13．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

16　[当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，

则t＝24，所以再经过16 min.]

14．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生强度至少为4.7级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．

1 000 000　[设9.0级地震所释放的能量为E1,5.0级地震所释放的能量为E2.由9.0＝(lg E1－11.4)，

得lg E1＝×9.0＋11.4＝24.9.

同理可得lg E2＝×5.0＋11.4＝18.9，

从而lg E1－lg E2＝24.9－18.9＝6.

故lg E1－lg E2＝lg ＝6，则＝106＝1 000 000，

即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．]

15．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．

(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

[解]　(1)证明：当x≥7时，

f(x＋1)－f(x)＝.

而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，

当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的．

(2)由题意可知0.1＋15ln ＝0.85，

整理得＝e0.05，

解得a＝×6≈20.50×6＝123,123∈(121,127]，

由此可知，该学科是乙学科.