2021学年4.4 幂函数当堂达标检测题

章末综合测评(一)　指数函数、对数函数与幂函数

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若a<，则化简的结果是(　　)

A．　　　　 B．－

C． D．－

C　[∵a<，∴2a－1<0，于是，原式＝＝.]

2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)

A． B．

C． D．

C　[由函数的解析式得：

即

所以1≤x＜.]

3．三个数e－，log0.23，ln π的大小关系为(　　)

A．log0.23＜e－＜ln π

B．e－＜ln π＜log0.2 3

C．e－＜log0.23＜ln π

D．log0.23＜ln π＜e－

A　[由y＝ex，y＝log0.2x和y＝ln x可知0＜e－＜1，log0.23＜0，ln π＞1，故选A．]

4．已知f(x)＝则f(log23)＝(　　)

A． B．－

C． D．

A　[因为1＜log23＜2，所以2＜log23＋1＜3,3＜log23＋2＜4,4＜log23＋3＜5，所以f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)＝f(log23＋3)＝＝＝.]

5．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝logf(x)的图像大致是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　　D

C　[由函数y＝f(x)的图像知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以logf(x)≤0.

又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，

所以y＝logf(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，结合各选项知，选C．]

6．设函数f(x)＝若f(a)＝1，则a的值为(　　)

A．－1 B．1

C．－1或1 D．－1或1或－2

C　[∵f(a)＝1，

∴或

∴或

∴a＝－1或a＝1．]

7．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)

A． B．

C．(1，) D．(，2)

B　[当0＜x≤时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，

数形结合可知只需2＜logax，∴

即对0＜x≤时恒成立，

∴解得＜a＜1，故选B．]

8．函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则a的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

B　[若函数f(x)＝在x∈R内单调递减，

则

解得≤a≤，故选B．]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9．如图为函数y＝m＋lognx的图像，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．m＜0　　　　 B．m＞0

C．n＞1 D．0＜n＜1

AD　[当x＝1时，y＝m，由图形易知m＜0，又函数是减函数，所以0＜n＜1．]

10．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)

A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快

B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢

C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢

D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快

ABD　[结合指数函数y＝和对数函数y＝logx的图像(图略)易得C正确，ABD错误．]

11．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)

A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)

B．f(－2)＜f(3)

C．f(x)－g(x)＝π－x

D．f(2x)＝2f(x)g(x)

ABD　[A正确，因为f(－x)＝＝－f(x)．

g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；

B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；

C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；

D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x)．]

12．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图像，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息(　　)

A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h

B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者

D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样

ABC　[看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图像是线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图像是折线段，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，易知C正确，D错误．]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．

13．函数y＝loga(2x－3)＋8的图像恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图像上，则f(3)＝________.

27　[由题意得定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.]

14．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：

则不等式f(|x|)≤2的解集是________．

{x|－4≤x≤4}　[由表中数据知＝，所以α＝，

所以f(x)＝x，所以|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.所以不等式f(|x|)≤2的解集是{x|－4≤x≤4}．]

15．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)

4　2　[∵logab＋logba＝logab＋＝，

∴logab＝2或.

∵a>b>1，∴logab<logaa＝1，

∴logab＝，∴a＝b2.

∵ab＝ba，∴(b2)b＝b，

∴b2b＝b，

∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.]

16．对于下列结论：

①函数y＝ax＋2(x∈R)的图像可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像平移得到；

②函数y＝2x与函数y＝log2x的图像关于y轴对称；

③方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1,3}；

④函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)为奇函数．

其中正确的结论是________．(把你的序号都填上)

①④　[y＝ax＋2的图像可由y＝ax的图像向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝log2x的图像关于直线y＝x对称，②错误；

由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得

∴

∴x＝3，③错误；

设f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)．

∴f(x)是奇函数，④正确．故正确的结论是①④.]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：

(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0.

(2)lg 25＋lg 2－lg－log29×log32.

[解]　(1)原式＝(－1)＋－＋1

＝＋(500)－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.

(2)原式＝lg 5＋lg 2－lg －2log23×log32＝1＋－2＝－.

18．(本小题满分12分)解方程：log2(2x＋1)·log2(2x＋1＋2)＝2.

[解]　原方程化为log2(2x＋1)·log2[2(2x＋1)]＝2，

即log2(2x＋1)·[1＋log2(2x＋1)]＝2，

[log2(2x＋1)]2＋log2(2x＋1)－2＝0，

解得log2(2x＋1)＝1或log2(2x＋1)＝－2，即log2(2x＋1)＝log22或log2(2x＋1)＝log2 ，所以2x＋1＝2或2x＋1＝，

即2x＝1或2x＝－(舍)，解得x＝0.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的图像过点(0，－2)，(2,0)．

(1)求a与b的值；

(2)求x∈[－2,4]时，f(x)的最大值与最小值．

[解]　(1)因为函数图像过点(0，－2)，(2,0)，

所以解得

或(舍去)

故a＝，b＝－3.

(2)因为f(x)＝()x－3，指数函数的底>1，所以该函数在定义域内为增函数．

即当x∈[－2,4]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－2)＝－3＝－，f(x)max＝f(4)＝9－3＝6.

即f(x)的最大值为6，最小值为－.

20．(本小题满分12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.

(1)求不等式loga(3x＋1)＜loga(7－5x)；

(2)若函数y＝loga(2x－1)在区间[3,6]上有最小值为－2，求实数a的值．

[解]　(1)因为22a＋1＞25a－2，所以2a＋1＞5a－2，即3a＜3，所以a＜1．又因为a＞0，所以0＜a＜1．

则不等式loga(3x＋1)＜loga(7－5x)，

等价为即

所以＜x＜，即不等式loga(3x＋1)＜loga(7－5x)的解集为.

(2)则(1)得0＜a＜1，

所以函数y＝loga(2x－1)在区间[3,6]上为减函数，

所以当x＝6时，y有最小值为－2，即loga11＝－2，

所以a－2＝＝11，解得a＝.

21．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的关系．

(1)写出y关于t的函数关系式y＝f(t)．

(2)据进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．

①求服药一次后治疗疾病有效的时间；

②当t＝5时，第二次服药，问t∈时，药效是否连续？

[解]　(1)将t＝1，y＝4分别代入y＝kt，y＝，得k＝4，a＝3.

从而y＝f(t)＝

(2)①当0≤t≤1时，由4t≥0.25，得≤t≤1；

当t>1时，由≥0.25，得1<t≤5.

因此，服药一次后治疗疾病有效的时间为

5－＝4(小时)．

②连续．因为当t＝5时，第二次服药，则t∈时，血液中的含药量增加得快，减少得慢，从而每毫升血液中的含药量还是一直不少于0.25微克的，即药效是连续的．

22．(本小题满分12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)确定y＝g(x)的解析式；

(2)求m，n的值；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．

[解]　(1)设指数函数g(x)＝ax(a＞0且a≠1)，

由g(2)＝4得a2＝4，得a＝2，所以g(x)＝2x.

(2)由(1)知f(x)＝.

∵f(x)在R上是奇函数，

∴f(0)＝0，即＝0，∴n＝1．

∴f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得m＝2.

(3)由(2)知f(x)＝＝－＋，

易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，

∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0.

由判别式Δ＝4＋12k<0可得k<－.

即实数k的取值范围为.