人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理同步测试题

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2D．e1，e1＋e2
B [因为e1和e2是两个不共线向量，所以e1和5e2、e1和e1＋e2分别是两个不共线向量，所以A、C、D均能作为基底；B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两向量是共线向量，不能作为基底．]
2．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
C [不妨令a＝eq \(CA,\s\up7(→))，b＝eq \(CB,\s\up7(→))，
则a－b＝eq \(CA,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))，
由平行四边形法则可知eq \(BA,\s\up7(→))＝e1－3e2.]
3．如图所示，矩形ABCD中，若eq \(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq \(DC,\s\up7(→))＝3e2，则eq \(OC,\s\up7(→))等于( )
A．eq \f(1,2)(5e1＋3e2)B．eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C．eq \f(1,2)(3e2＋5e1)D．eq \f(1,2)(5e2－3e1)
A [eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．]
4．若D点在△ABC的边BC上，且eq \(CD,\s\up7(→))＝4eq \(DB,\s\up7(→))＝req \(AB,\s\up7(→))＋seq \(AC,\s\up7(→))，则3r＋s的值为( )
A．eq \f(16,5) B．eq \f(12,5) C．eq \f(8,5) D．eq \f(4,5)
C [∵eq \(CD,\s\up7(→))＝4eq \(DB,\s\up7(→))＝req \(AB,\s\up7(→))＋seq \(AC,\s\up7(→))，
∴eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \f(4,5)eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \f(4,5)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝req \(AB,\s\up7(→))＋seq \(AC,\s\up7(→))，
∴r＝eq \f(4,5)，s＝－eq \f(4,5)，
∴3r＋s＝eq \f(12,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,5).]
5．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，若以a，b为基底，则eq \(AD,\s\up7(→))＝( )
A．a－eq \f(1,2)bB．eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)bD．eq \f(1,2)a＋b
D [连接OD，CD(图略)，显然∠BOD＝∠CAO＝60°，则AC∥OD，且AC＝OD，即四边形CAOD为菱形，故eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋b.]
二、填空题
6．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
(－∞，4)∪(4，＋∞) [若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb即得λ≠4.]
7．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b [因为a＝e1＋2e2， ①
b＝－e1＋e2, ②
显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，
所以e2＝eq \f(a＋b,3)，代入②得
e1＝e2－b＝eq \f(a＋b,3)－b＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b，
故有e1＋e2＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b.]
8．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么eq \(EF,\s\up7(→))用eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AD,\s\up7(→))可表示为eq \(EF,\s\up7(→))＝________.
eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→)) [eq \(EC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))，所以eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EC,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→)).]
三、解答题
9．如图，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若eq \(OP,\s\up7(→))＝2e1，eq \(OR,\s\up7(→))＝3e2，以e1，e2为基底，表示eq \(PS,\s\up7(→))与eq \(QS,\s\up7(→)).
[解] 平行四边形OPQR中，eq \(OQ,\s\up7(→))＝eq \(OP,\s\up7(→))＋eq \(OR,\s\up7(→))＝2e1＋3e2，
eq \(PR,\s\up7(→))＝eq \(OR,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→))＝3e2－2e1．
∵点S是OQ，PR的中点，
∴eq \(PS,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)PR＝eq \f(3,2)e2－e1，eq \(QS,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up7(→))＝－e1－eq \f(3,2)e2.
10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b.
(1)用a，b表示eq \(DE,\s\up7(→))；
(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线．
[解] (1)eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \(AE,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))
＝a＋eq \f(1,2)b－b＝a－eq \f(1,2)b.
(2)证明：连接AC，BD交于O(图略)，则eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(→))，
∵E，F分别是BC，DC的中点，∴G是△CBD的重心，
∴eq \(GO,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \(AC,\s\up7(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up7(→))，
又C为公共点，∴A，G，C三点共线．
11．(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则eq \f(λ1,λ2)＝eq \f(μ1,μ2)
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
BC [由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.]
12．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若2eq \(PD,\s\up7(→))＝(1－λ)eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．AB边所在的直线上
B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上
D．△ABC的内部
C [由2eq \(PD,\s\up7(→))＝(1－λ)eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))得
2(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝eq \(PA,\s\up7(→))－λeq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))，
2eq \(PA,\s\up7(→))＋2eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))－λeq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))，
eq \(PA,\s\up7(→))＋2eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→))＝－λeq \(PA,\s\up7(→)).
∵边AB的中点为D，
∴eq \(PC,\s\up7(→))＝－λeq \(PA,\s\up7(→))，
∴P在直线AC上．]
13．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
eq \f(1,4) [如图，分别在eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))上取点E，F，
使eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，
在eq \(BC,\s\up7(→))上取点G，
使eq \(BG,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(→))，
则EG∥AC，FG∥AE，所以eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \(AE,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AM,\s\up7(→))，
所以M与G重合，所以eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(BM,BC)＝eq \f(1,4).]
14．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若eq \(BE,\s\up7(→))＝λeq \(BA,\s\up7(→))＋μeq \(BD,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
eq \f(3,4) [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))，∵E是AO的中点，
∴eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(→))，
∴λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,4)，∴λ＋μ＝eq \f(3,4).]
15．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且eq \(AP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))，若eq \(AP,\s\up7(→))＝req \(OB,\s\up7(→))＋seq \(OA,\s\up7(→))，求r＋s的值．
(2)如图，点P满足eq \(OP,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
[解] (1)因为eq \(AP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))，所以eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))，
所以eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(→))，
又因为eq \(AP,\s\up7(→))＝req \(OB,\s\up7(→))＋seq \(OA,\s\up7(→))，所以r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，
所以r＋s的值为0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OP,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))，又因为eq \(OP,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))，
所以eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋(m＋1)eq \(OA,\s\up7(→))，
依题意eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1．