高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算达标测试，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．给出以下五个结论：
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [①②③显然正确；(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，(a·b)c与a(b·c)不一定相等，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．]
2．已知|a|＝3，a与b的夹角为120°，则a在b方向上的投影向量的模为( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(3\r(3),2) C．2 D．2eq \r(3)
A [∵|a|＝3，a与b的夹角为120°，∴|a|cs 120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，∴a在b方向上的投影向量的模为eq \f(3,2)．]
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
D [∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，
∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0．]
4．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2)
C [因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝1×eq \r(3)×cs 150°＝－eq \f(3,2)．]
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,4) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
C [|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝eq \f(1,2)b2⇒cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,\f(3,2)b2)＝eq \f(1,3)．]
二、填空题
6．已知向量e1，e2的模分别为1,2，e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，则(e2－e1)·e2的值为________．
3 [由题意，可知(e2－e1)·e2＝eeq \\al(2,2)－e1·e2＝|e2|2－|e1||e2|cs eq \f(π,3)＝22－1×2×cs eq \f(π,3)＝3．]
7．已知向量|a|＝eq \r(,5)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(,2)，则|b|＝________．
5 [|a|2＝5，|a＋b|＝5eq \r(,2)，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5．]
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．
eq \f(π,3) [由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，
即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cs θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cs θ＝0，故|a|2＝|b|2，
即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cs θ＝0，故cs θ＝eq \f(1,2)，
因为 0≤θ≤π，故θ＝eq \f(π,3)．]
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1)求a与b的夹角θ的值；
(2)求|a＋b|．
[解] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．
∵|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6，∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,4×3)＝－eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，
∴θ＝eq \f(2π,3)．
(2)由已知及(1)所求得，|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝eq \r(13)．
10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
[解] ∵a⊥b，∴a·b＝0．
由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0．
∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0，
∴k＝eq \f(1,4)(t2－3t)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,16)．
故当t＝eq \f(3,2)时，k取最小值，为－eq \f(9,16)．
1．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是( )
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
ACD [根据向量积的分配律知A正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，
|a－b|组成三角形三边，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；
D正确．]
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \r(3)eq \(BD,\s\up7(→))，|eq \(AD,\s\up7(→))|＝1，则eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))等于( )
A．2eq \r(3) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \r(3)
D [eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝|eq \(AC,\s\up7(→))||eq \(AD,\s\up7(→))|cs∠DAC
＝|eq \(AC,\s\up7(→))|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠BAC－\f(π,2)))
＝|eq \(AC,\s\up7(→))|sin∠BAC＝|eq \(BC,\s\up7(→))|sin B
＝eq \r(3)|eq \(BD,\s\up7(→))|sin B＝eq \r(3)|eq \(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(3)．]
3．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________．
5或－8 [因为3a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，
即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8．]
4．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝eq \f(3,4)．
(1)|b|＝________；
(2)当a·b＝－eq \f(1,4)时，向量a与a＋2b的夹角θ的值为________．
(1)eq \f(1,2) (2)eq \f(π,3) [(1)因为(a－b)·(a＋b)＝eq \f(3,4)，
即a2－b2＝eq \f(3,4)，即|a|2－|b|2＝eq \f(3,4)，
所以|b|2＝|a|2－eq \f(3,4)＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，故|b|＝eq \f(1,2)．
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1．
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
所以cs θ＝eq \f(a·a＋2b,|a|·|a＋2b|)＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，故θ＝eq \f(π,3)．]
在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq \(CP,\s\up7(→))＝2eq \(PD,\s\up7(→))．
(1)若四边形ABCD是矩形，求eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BP,\s\up7(→))的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BP,\s\up7(→))＝6，求eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AD,\s\up7(→))夹角的余弦值．
[解] (1)因为四边形ABCD是矩形，
所以eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝0，
由eq \(CP,\s\up7(→))＝2eq \(PD,\s\up7(→))，
得eq \(DP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(CP,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(→))＝－eq \f(2,3)eq \(DC,\s\up7(→))．
所以eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BP,\s\up7(→))＝(eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DP,\s\up7(→)))·(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CP,\s\up7(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(DC,\s\up7(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))－\f(2,3)\(DC,\s\up7(→))))
＝eq \(AD,\s\up7(→))2－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))－eq \f(2,9)eq \(DC,\s\up7(→))2＝36－eq \f(2,9)×81＝18．
(2)由题意，eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DP,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CP,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))，
所以eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up7(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))－\f(2,3)\(AB,\s\up7(→))))
＝eq \(AD,\s\up7(→))2－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up7(→))2
＝36－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))－18＝18－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))．
又eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BP,\s\up7(→))＝6，所以18－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝6，
所以eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝36．
设eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AD,\s\up7(→))的夹角为θ，
又eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝|eq \(AB,\s\up7(→))|·|eq \(AD,\s\up7(→))|cs θ＝9×6×cs θ＝54cs θ，
所以54cs θ＝36，即cs θ＝eq \f(2,3)．
所以eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AD,\s\up7(→))夹角的余弦值为eq \f(2,3)．