数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算综合训练题

这是一份数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算综合训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
B [只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a．]
2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为( )
A．eq \r(2) B．－eq \r(2) C．2 D．－2
A [由a∥b得－x2＋2＝0，
得x＝±eq \r(2)．当x＝eq \r(2)时，a与b方向相同，
当x＝－eq \r(2)时，a与b方向相反．]
3．向量eq \(PA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq \(PB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq \(PC,\s\up7(→))＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
C [eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(PA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(PC,\s\up7(→))－eq \(PB,\s\up7(→))＝(6，k－5)，由题知eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(BC,\s\up7(→))，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2．]
4．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为( )
A．－8 B．－6 C．－1 D．6
B [由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6．故选B．]
5．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1＋sin θ))，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
B [由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－eq \f(1,2)＝0，即cs θ＝±eq \f(\r(2),2)，而θ是锐角，故θ＝45°．]
二、填空题
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且eq \(AB,\s\up7(→))与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
eq \f(3,2) [由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则eq \(AB,\s\up7(→))＝(4,6)．
又eq \(AB,\s\up7(→))与a＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，解得λ＝eq \f(3,2)．]
7．已知eq \(OA,\s\up7(→))＝(k,2)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(1,2k)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________．
－eq \f(1,4) [eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(1－k,2k－2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(1－2k，－3)，由题意可知eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－eq \f(1,4)或k＝1，当k＝1时，A，B重合，故舍去．]
8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0)) [由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则eq \(AB,\s\up7(→))＝(x－1，y－2)＝b．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＝x－1，,3λ＝y－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2λ，,y＝3λ＋2，))
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
当λ＝eq \f(1,2)时，x＝0时，y＝eq \f(7,2)；
当λ＝－eq \f(2,3)时，x＝eq \f(7,3)，y＝0．
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))．]
三、解答题
9．已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))共线；
(2)当向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
[解] (1)eq \(AB,\s\up7(→))＝(x,1)，eq \(CD,\s\up7(→))＝(4，x)．
∵eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(CD,\s\up7(→))，∴x2＝4，x＝±2．
(2)由已知得eq \(BC,\s\up7(→))＝(2－2x，x－1)，
当x＝2时，eq \(BC,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,1)，
∴eq \(AB,\s\up7(→))和eq \(BC,\s\up7(→))不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，eq \(BC,\s\up7(→))＝(6，－3)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(－2,1)，
∴eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(BC,\s\up7(→))，此时A，B，C三点共线．
又eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(CD,\s\up7(→))，∴A，B，C，D四点在一条直线上．
综上，当x＝2时，A，B，C，D不在一条直线上；
当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(CA,\s\up7(→))＝c，且eq \(CM,\s\up7(→))＝3c，eq \(CN,\s\up7(→))＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及eq \(MN,\s\up7(→))的坐标．
[解] a＝eq \(AB,\s\up7(→))＝(5，－5)，b＝eq \(BC,\s\up7(→))＝(－6，－3)，c＝eq \(CA,\s\up7(→))＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＝－6m＋n，,－5＝－3m＋8n，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设M(x1，y1)，由eq \(CM,\s\up7(→))＝3c，
得(x1＋3，y1＋4)＝3(1,8)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋3＝3，,y1＋4＝24.))
∴x1＝0，y1＝20．∴M(0,20)．
设N(x2，y2)，由eq \(CN,\s\up7(→))＝－2b，
得(x2＋3，y2＋4)＝－2(－6，－3)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3＝12，,y2＋4＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝9，,y2＝2.))
∴N(9,2)．∴eq \(MN,\s\up7(→))＝(9，－18)．
1．(多选题)已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，则下列结论正确的是( )
A．直线OC与直线BA平行
B．eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))
C．eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))
D．eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－2eq \(OA,\s\up7(→))
ACD [因为eq \(OC,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq \(BA,\s\up7(→))＝(2，－1)，所以eq \(OC,\s\up7(→))＝－eq \(BA,\s\up7(→))，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))≠eq \(CA,\s\up7(→))，所以B错误；因为eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝(0,2)＝eq \(OB,\s\up7(→))，所以C正确；因为eq \(AC,\s\up7(→))＝(－4,0)，eq \(OB,\s\up7(→))－2eq \(OA,\s\up7(→))＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以D正确．]
2．设向量a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)，定义一种运算“”，向量ab＝(a1，b1)(a2，b2)＝(a2b1，a1b2)．已知m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动且满足eq \(OQ,\s\up7(→))＝meq \(OP,\s\up7(→))＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最小值为( )
A．－1 B．－2 C．2 D．eq \f(1,2)
B [由题意知，点P的坐标为(x，sin x)，
则eq \(OQ,\s\up7(→))＝meq \(OP,\s\up7(→))＋n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x，2sin x))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)，2sin x))．又因为点Q在y＝f(x)的图象上运动，所以点Q的坐标满足y＝f(x)的解析式，即y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))，所以函数y＝f(x)的最小值为－2．]
3．已知向量eq \(OA,\s\up7(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
m≠eq \f(1,2) [eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则eq \(AC,\s\up7(→))与eq \(AB,\s\up7(→))不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠eq \f(1,2)．]
4．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5，0)，D(1,0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,7)，\f(16,7))) [设P(x，y)，则eq \(DP,\s\up7(→))＝(x－1，y)，eq \(DB,\s\up7(→))＝(5,4)，eq \(CA,\s\up7(→))＝(－3,6)，eq \(DC,\s\up7(→))＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得eq \(DP,\s\up7(→))＝λeq \(DB,\s\up7(→))＝(5λ，4λ)．
又因为eq \(CP,\s\up7(→))＝eq \(DP,\s\up7(→))－eq \(DC,\s\up7(→))＝(5λ－4,4λ)，
由eq \(CP,\s\up7(→))与eq \(CA,\s\up7(→))共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0．
解得λ＝eq \f(4,7)，
所以eq \(DP,\s\up7(→))＝eq \f(4,7)eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,7)，\f(16,7)))，
所以P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,7)，\f(16,7)))．]
已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE．
[证明] 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便，
不妨设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y＞0，
于是eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,1)，eq \(BE,\s\up7(→))＝(x－1，y)．
∵eq \(AC,\s\up7(→))∥eq \(BE,\s\up7(→))，
∴1×y－(x－1)×1＝0⇒y＝x－1．①
∵AC＝OC＝CE，
∴CE2＝OC2⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2．②
由y＞0，联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3＋\r(,3),2)，,y＝\f(1＋\r(,3),2)，))
即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋\r(,3),2)，\f(1＋\r(,3),2)))．
AE＝OE＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋\r(,3),2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,3),2)))eq \s\up12(2))＝eq \r(,3)＋1．
设F(t,0)，则eq \(FC,\s\up7(→))＝(1－t,1)，eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(,3),2)，\f(－1＋\r(,3),2)))．
∵F，C，E三点共线，∴eq \(FC,\s\up7(→))∥eq \(CE,\s\up7(→))．
∴(1－t)×eq \f(－1＋\r(,3),2)－eq \f(1＋\r(,3),2)×1＝0，解得t＝－1－eq \r(,3)．
∴AF＝OF＝1＋eq \r(,3)，∴AF＝AE．