高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在△ABC中，若(eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→)))·(eq \(CA,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→)))＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
C [由条件知eq \(CA,\s\up7(→))2＝eq \(CB,\s\up7(→))2，即|eq \(CA,\s\up7(→))|＝|eq \(CB,\s\up7(→))|，即△ABC为等腰三角形．]
2．某人在静水中游泳的速度为eq \r(3) km/h，水流的速度为1 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
B [如图，eq \(OA,\s\up7(→))表示水速，用eq \(OB,\s\up7(→))表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度 ．
则他的实际前进的方向与水流方向的夹角为∠AOC．
因为tan∠AOC＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，所以∠AOC＝60°．
故选：B．]
3．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10eq \r(2) N C．20eq \r(2) N D．40eq \r(2)N
B [如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝eq \r(2)|F1|＝20 N，所以|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N．当它们的夹角为120°时，|F|＝|F1|＝10eq \r(2) N．]
4．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，则|eq \(AP,\s\up7(→))|等于( )
A．2 B．1 C．eq \f(1,2) D．4
B [设BC边的中点为M，则eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \(AM,\s\up7(→))，
∴eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))，
∴P与M重合，
∴|eq \(AP,\s\up7(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up7(→))|＝1．]
5．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，
则eq \(AC,\s\up7(→))＝(1，t)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(－1，t)．
由AC⊥BC知eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．]
二、填空题
6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J．
1 500eq \r(3) [所做的功W＝60×50×cs 30°＝1 500eq \r(3)(J)．]
7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))＝4．则点P的轨迹方程是________．
x＋2y－4＝0 [eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，
∴x＋2y－4＝0．]
8．在四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up7(→))＝(4，－2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(7,4)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
30 [eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(3,6)＝eq \(AD,\s\up7(→))．
又因为eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝(4，－2)·(3,6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，
所以|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(42＋－22)＝2eq \r(5)，
|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)，
所以四边形ABCD的面积S＝|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(BC,\s\up7(→))|＝2eq \r(5)×3eq \r(5)＝30．]
三、解答题
9．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设eq \(AD,\s\up7(→))＝a，eq \(AB,\s\up7(→))＝b，则eq \(BD,\s\up7(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up7(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up7(→))|＝|a－b|＝eq \r(,a2－2a·b＋b2)＝eq \r(,1＋4－2a·b)＝eq \r(,5－2a·b)＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝eq \f(1,2)，又|eq \(AC,\s\up7(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
所以|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(,6)，
即AC＝eq \r(,6)．
10．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(25,20)移动到点B(12,5)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m)．求：
(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
[解] (1)F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(－13，－15)．
F1做的功W1＝F1·eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,1)·(－13，－15)＝－13－15＝－28(J)．
F2做的功W2＝F2·eq \(AB,\s\up7(→))＝(4，－5)·(－13，－15)＝－52＋75＝23(J)．
(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，
所以F做的功W＝F·eq \(AB,\s\up7(→))＝(5，－4)·(－13，－15)＝－65＋60＝－5(J)．
1．已知△ABC所在平面内的一点P满足eq \(PA,\s\up7(→))＋2 eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1
C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
B [延长PB至D，使得eq \(PD,\s\up7(→))＝2 eq \(PB,\s\up7(→)) (图略)，于是有eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PD,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1．]
2．(多选题)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则点O为△ABC的重心
B．若eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)－\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)－\f(\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)))＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(AB,\s\up7(→))＝(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，则点O为△ABC的外心
D．若eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))，则点O为△ABC的内心
AC [选项A，设D为BC的中点，
由于eq \(OA,\s\up7(→))＝－(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝－2eq \(OD,\s\up7(→))，
所以点O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，
所以点O为△ABC的重心，故A正确；
选项B，向量eq \f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)，eq \f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)分别表示在边AC和AB上取单位向量eq \(AC′,\s\up7(→))和eq \(AB′,\s\up7(→))，记它们的差是向量eq \(B′C′,\s\up7(→))，
则当eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)－\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)))＝0，
即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上，同理由eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)－\f(\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)))＝0，
知点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心，故B错误；
选项C，eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))是以eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))为邻边的平行四边形的一条对角线，
而|eq \(AB,\s\up7(→))|是该平行四边形的另一条对角线，
eq \(AB,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))＝0表示这个平行四边形是菱形，
即|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|，同理有|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，
于是点O为△ABC的外心，故C正确；
选项D，由eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))得eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))＝0，即eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up7(→))⊥eq \(CA,\s\up7(→))．同理可证eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))．
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，故D错误．故选AC．]
3．如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OD，AC＝2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若Deq \(E,\s\up7(→))·Deq \(B,\s\up7(→))＝6，则四边形ABCD的面积为________．
3eq \r(2) [如图所示，作BF⊥AC，交AC于点F，设DO＝x，∠EDB＝θ，DE＝h，则cs θ＝eq \f(h,x)．因为Deq \(E,\s\up7(→))·Deq \(B,\s\up7(→))＝6，所以Deq \(E,\s\up7(→))·Deq \(B,\s\up7(→))＝h·3x·cs θ＝h·3x·eq \f(h,x)＝3h2＝6，得h＝eq \r(2)．因为BF⊥AC，DE⊥AC，∠DOE＝∠COB，所以△DOE∽△BOF，又OB＝2OD，所以BF＝2h，所以S四边形ABCD＝eq \f(1,2)×h×2＋eq \f(1,2)×2h×2＝3eq \r(2)．]
4．已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则Peq \(B,\s\up7(→))·Peq \(C,\s\up7(→))的取值范围是________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，4)) [△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，设PA＝x，x∈[0,4]，则eq \(PB,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))＝(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→)))·eq \(PC,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))＝x(4－x)cs 180°＋2(4－x)cs 60°＝x2－5x＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)．由x∈[0,4]，知当x＝eq \f(5,2)时，eq \(PB,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))取得最小值，为－eq \f(9,4)；当x＝0时，Peq \(B,\s\up7(→))·Peq \(C,\s\up7(→))取得最大值，为4，故Peq \(B,\s\up7(→))·Peq \(C,\s\up7(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，4))．]
如图，eq \(AB,\s\up7(→))＝(6,1)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(x，y)，eq \(CD,\s\up7(→))＝(－2，－3)，且eq \(BC,\s\up7(→))∥eq \(AD,\s\up7(→))．
(1)求y与x的关系式；
(2)若eq \(AC,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
[解] (1)∵eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝(4＋x，y－2)，
∴由eq \(BC,\s\up7(→))∥eq \(AD,\s\up7(→))，得x(y－2)＝y(4＋x)，
即y＝－eq \f(1,2)x．
(2)由题易得，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝(x＋6，y＋1)，eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝(x－2，y－3)．
由eq \(AC,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))可得eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
又∵y＝－eq \f(1,2)x，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝3.))
∴eq \(AC,\s\up7(→))＝(8,0)，eq \(BD,\s\up7(→))＝(0，－4)或eq \(AC,\s\up7(→))＝(0,4)，eq \(BD,\s\up7(→))＝(－8,0)，
又∵eq \(AC,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))，
∴四边形ABCD的面积为eq \f(1,2)·|eq \(AC,\s\up7(→))||eq \(BD,\s\up7(→))|＝eq \f(1,2)×8×4＝16．