高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念第1课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念第1课时练习，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．3
D [∵a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，∴由余弦定理，可得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋4－5,2×b×2)＝eq \f(2,3)，整理可得3b2－8b－3＝0，∴b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)，故选D．]
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，若b(1－cs A)＝a(1－cs B)，则A＝( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
D [结合余弦定理得beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2＋c2－a2,2bc)))＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2＋c2－b2,2ac)))，
即2bc－b2－c2＋a2＝2ac－a2－c2＋b2，
即a2－b2＝c(a－b)，即(a＋b－c)(a－b)＝0．
因为三角形中，两边之和大于第三边，所以a－b＝0，
即a＝b，△ABC是等腰三角形，结合C＝120°，得到A＝30°．故选：D．]
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cs C＝eq \f(13,14)，则最大角的余弦值是( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(1,6) C．－eq \f(1,7) D．－eq \f(1,8)
C [由余弦定理，得cs C＝eq \f(72＋82－c2,2×7×8)＝eq \f(13,14)，得c＝3，所以角B为最大角，则cs B＝eq \f(72＋32－82,2×7×3)＝－eq \f(1,7)．故选C．]
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
C [由eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0得－cs C>0，所以cs C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1C．eq \r(3)C [若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴ac2，即a2>3，∴a>eq \r(3)，故eq \r(3)二、填空题
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
0 [∵b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－2accs 120°＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0．]
7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
eq \f(4,3) [由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcs C＝2abcs 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝eq \f(4,3)．]
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝eq \r(2)b，c2＝b2＋eq \r(2)bc，则内角A的大小是________．
45° [∵a＝eq \r(2)b，a2＝b2＋c2－2bccs A，∴2b2＝b2＋c2－2bccs A．又c2＝b2＋eq \r(2)bc，∴cs A＝eq \f(\r(2),2)，∴A＝45°．]
三、解答题
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b．
[解] 在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°．
由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accs B＝(a＋c)2－2ac－2accs B
＝82－2×15－2×15×eq \f(1,2)＝19．
∴b＝eq \r(19)．
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
[解] 由余弦定理的推论得：
cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq \f(92＋82－72,2×9×8)＝eq \f(2,3)，
设所求的中线长为x，由余弦定理知：
x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))eq \s\up12(2)＋AB2－2·eq \f(AC,2)·ABcs A＝42＋92－2×4×9×eq \f(2,3)＝49，
则x＝7．所以所求中线长为7．
1．(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)，则b＝( )
A．2 B．3 C．4 D．2eq \r(2)
AC [由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝2或b＝4．]
2．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))
A [cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a－c2＋ac,2ac)
＝eq \f(a－c2,2ac)＋eq \f(1,2)≥eq \f(1,2)，
∵03．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．
(1，eq \r(7))∪(5,7) [①若x>4，则x所对的角为钝角，
∴eq \f(32＋42－x2,2×3×4)<0且x<3＋4＝7，∴5②若x<4，则4对的角为钝角，
∴eq \f(32＋x2－42,2×3×x)<0且3＋x>4，
∴1∴x的取值范围是(1，eq \r(7))∪(5,7)．]
4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，2cs (A＋B)＝1．
(1)角C的度数为________；
(2)AB的长为________．
(1)eq \f(2,3)π (2)eq \r(10) [(1)∵cs C＝cs [π－(A＋B)]＝－cs (A＋B)＝－eq \f(1,2)，且C∈(0，π)，
∴C＝eq \f(2π,3)．
(2)∵a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，))
∴AB2＝b2＋a2－2abcs eq \f(2π,3)＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝eq \r(10)．]
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs C＋(cs A－eq \r(3)sin A)cs B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[解] (1)由已知得－cs(A＋B)＋cs Acs B－eq \r(3)sin A·cs B＝0，即有sin Asin B－eq \r(3)sin Acs B＝0．
因为sin A≠0，所以sin B－eq \r(3) cs B＝0．又cs B≠0，所以tan B＝eq \r(3)．又0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,3)．
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accs B．
因为a＋c＝1，cs B＝eq \f(1,2)，
有b2＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)．
又0＜a＜1，
于是有eq \f(1,4)≤b2＜1，即有eq \f(1,2)≤b＜1．