高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时课时作业，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A．eq \r(3)＋1 B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
C [由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，
∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6)．]
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
C [∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴当B＝135°时，不符合题意，
∴B＝45°，故选C．]
3．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．eq \r(2)∶1∶1 D．eq \r(3)∶1∶1
D [∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，
∴A＝120°，B＝30°，C＝30°．
由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝eq \f(\r(3),2)∶eq \f(1,2)∶eq \f(1,2)＝eq \r(3)∶1∶1．]
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cs2eq \f(C,2)＝eq \f(a＋b,2a)，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
A [∵cs2eq \f(C,2)＝eq \f(a＋b,2a)，∴eq \f(1＋cs C,2)＝eq \f(sin A＋sin B,2sin A)，化简得sin Acs C＝sin B．∵B＝π－(A＋C)，∴sin Acs C＝sin(A＋C)，即cs Asin C＝0．∵sin C≠0，∴cs A＝0，即A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选A．]
5．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为eq \f(\r(3)＋1,2)，则三角形的最大角为( )
A．60° B．75° C．90° D．115°
B [不妨设a为最大边，c为最小边，
由题意有eq \f(a,c)＝eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
即eq \f(sin A,sin120°－A)＝eq \f(\r(3)＋1,2)．
整理得(3－eq \r(3))sin A＝(3＋eq \r(3))cs A．
∴tan A＝2＋eq \r(3)，
又∵A∈(0°，120°)，
∴A＝75°，故选B．]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
eq \f(\r(6),3) [由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．]
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________．
1 [在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，
∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π．
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1．]
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝eq \f(π,6)，则C＝________．
eq \f(π,4) [在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，即a2－b2＝c2－2bccs A，
由已知，得a2－b2＝－bc，则c2－2bccs eq \f(π,6)＝－bc，
即c＝(eq \r(3)－1)b，
由正弦定理，得sin C＝(eq \r(3)－1)sin B＝(eq \r(3)－1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－C))，化简，得sin C－cs C＝0，解得C＝eq \f(π,4)．]
三、解答题
9．在△ABC中，已知eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，试判断△ABC的形状．
[解] 令eq \f(a,sin A)＝k，
由正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C．
代入已知条件，得eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，
即tan A＝tan B＝tan C．
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．
10．在△ABC中，A＝60°，sin B＝eq \f(1,2)，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．
[解] 由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即b＝eq \f(a·sin B,sin A)＝eq \f(3×\f(1,2),sin 60°)＝eq \r(3)．
由于A＝60°，则B<120°，
因为sin B＝eq \f(1,2)，
所以B＝30°，则C＝90°，
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(9＋3)＝2eq \r(3)．
综上，b＝eq \r(3)，c＝2eq \r(3)，B＝30°，C＝90°．
1．(多选题)在△ABC中，A>B，则下列不等式中一定正确的是( )
A．sin A>sin B B．cs AC．sin 2A>sin 2B D．cs 2AABD [A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确．
由于在(0，π)上，y＝cs x单调递减，
∴cs Acs 2α＝1－2sin2α．
∵sin A>sin B>0，∴sin2 A>sin2 B，
∴cs 2A2．在△ABC中，a＝4，b＝eq \f(5,2)，5cs(B＋C)＋3＝0，则B的大小为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(5,6)π
A [由5cs(B＋C)＋3＝0得cs A＝eq \f(3,5)，
∴A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin A＝eq \f(4,5)，
由正弦定理得eq \f(4,\f(4,5))＝eq \f(\f(5,2),sin B)，∴sin B＝eq \f(1,2)．
又∵a>b，∴A>B，且A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴B必为锐角，∴B＝eq \f(π,6)．]
3．在△ABC中，若C＝2B，则eq \f(c,b)的取值范围为________．
(1,2) [因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
所以A＝π－3B>0，所以0因为eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin 2B,sin B)＝2cs B，
所以1<2cs B<2，故14．在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝eq \r(2)，则a＝________，b＝________．
1 eq \f(\r(6)＋\r(2),2) [因为A＝30°，C＝45°，c＝eq \r(2)，
所以由正弦定理，得a＝eq \f(csin A,sinC)＝eq \f(\r(2)sin 30°,sin 45°)＝1．
又B＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(2)sin 105°,sin 45°)＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)．]
已知方程x2－bxcs A＋acs B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状．
[解] 设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝bcs A，x1x2＝acs B，由题意得bcs A＝acs B．
由正弦定理得2Rsin Bcs A＝2Rsin Acs B，
∴sin Acs B－cs Asin B＝0，即sin(A－B)＝0．
在△ABC中，0∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．