2020-2021学年8.6 空间直线、平面的垂直第1课时课后练习题

这是一份2020-2021学年8.6 空间直线、平面的垂直第1课时课后练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(三十四)　二面角及平面与平面垂直的判定定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)A．平行　　　　　　 B．可能重合C．相交且垂直   D．相交不垂直C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C．]2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)A．互为余角   B．相等C．其和为周角   D．互为补角D　[画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D．]3．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线bD　[如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(　　)A．60°   B．30°C．45°   D．15°C　[由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．]5．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　)A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABDB　[因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC．又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC．因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD．又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．]二、填空题6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直　[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD．又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C．又BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C．]7．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________．60°　[如图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥DC，∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°．设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，所以△ABC是等边三角形，所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°．]8．如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________．(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°．②④　[因为AD∥BC，PB与BC不垂直，故PB与AD不垂直，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长CB，EA，两者相交(图略)，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．]三、解答题9．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD． 求证：平面PDC⊥平面PAD．[证明]　因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别AD和BC上，且EF∥AB．若二面角C1­EF­C等于45°，求BF的值．[解]　因为AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，所以AB⊥C1F，AB⊥CF．又EF∥AB，所以C1F⊥EF，CF⊥EF，所以∠C1FC是二面角C1­EF­C的平面角，即∠C1FC＝45°．所以△FCC1是等腰直角三角形，所以CF＝CC1＝AA1＝1．又BC＝2，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1．1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　)A．相等　　　　　　 B．互补C．相等或互补   D．不确定D　[反例：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D．]2．如图，在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P­ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．3　[因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC．因为PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可证平面PAB⊥平面PAC．]3．如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．　[如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝．]4．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2．(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；(2)求点D到平面PBC的距离．[解]　(1)证明：由已知得AC＝＝，BC＝＝，AB＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．(2)由(1)得BC⊥平面PAC，BC⊥AC，BC＝，PC＝＝，设点D到平面PBC的距离为d，因为VP­BCD＝VD­PBC，所以××DC×AD×PA＝××PC×BC×d，所以××1×1×1＝××××d，解得d＝，所以点D到平面PBC的距离为．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点．(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．[解]　(1)证明：取PC的中点M，连接FM，EM，如图所示：因为F，M分别为PD，PC的中点，所以FM∥CD，FM＝CD．因为＝，所以E为AB的中点，所以AE∥CD，AE＝CD．所以FM∥AE，FM＝AE．所以四边形AEMF为平行四边形，所以AF∥EM．因为AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，所以直线AF∥平面PEC．(2)存在一个常数m＝，使得平面PED⊥平面PAB，理由如下：要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，因为AB＝AD＝2，∠DAB＝30°，所以AE＝ADcos 30°＝，又因为PD⊥平面ABCD，PD⊥AB，AB⊥DE，PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE．因为AB⊂平面PAB，所以平面PDE⊥平面PAB，所以m＝＝．