高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质当堂检测题

3.2.2　奇偶性

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.下列函数是奇函数的是(　　)

A.y= B.y=-3x2

C.y=-|x| D.y=πx3-x

答案D

解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.

2.下列说法中,正确的是(　　)

A.偶函数的图象一定与y轴相交

B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0

C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R

D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数

答案B

解析y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;

若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确;

若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),

则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;

函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.

3.(2021四川乐山外国语学校高一期中)函数f(x)=的图象关于(　　)

A.x轴对称 B.y轴对称

C.坐标原点对称 D.直线y=x对称

答案B

解析∵函数f(x)=,定义域为{x|x≠±},定义域关于原点对称,

且f(-x)==f(x),

∴函数f(x)=为偶函数,图象关于y轴对称,故选B.

4.(多选题)(2021山东新泰一中高一期中)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是(　　)

A.这个函数有2个单调递增区间

B.这个函数有3个单调递减区间

C.这个函数在其定义域内有最大值7

D.这个函数在其定义域内有最小值-7

答案BC

解析根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.

5.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.-1 B.1 C.-3 D.3

答案C

解析∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,

∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.

∵y=g(x)是偶函数,∴g(-2)=f(-2)+2=-1,

∴f(-2)=-3.故选C.

6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=　　　　　. 

答案-26

解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.

因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,

所以h(-2)=f(-2)+8=18.

h(2)=-h(-2)=-18,

所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.

7.(2021浙江金华曙光学校高二期中)若函数f(x)=|x|(x-a),a∈R是奇函数,则a=　　　　,f(2)=　　　　　. 

答案0　4

解析因为函数f(x)=|x|(x-a),a∈R是奇函数,

即f(x)+f(-x)=0,令x=1,

则f(1)+f(-1)=0,

即1-a+(-1-a)=0,解得a=0,故f(x)=x|x|,

则f(2)=4.

8.(2021江苏苏州高一期中)已知函数f(x)=为奇函数.

(1)求f(2)和实数a的值;

(2)求方程f(x)=f(2)的解.

解(1)设x>0,则-x<0.

因为x≤0时,f(x)=-x2-4x,

则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,

因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x,

所以f(x)=x2-4x=x2+ax,

所以a=-4,则f(2)=-4.

(2)原方程等价于

解得x=2或x=-2-2.

等级考提升练

9.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B

解析f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.

10.(2021河北邯郸高三期末)已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=(　　)

A.2 B.-1 C.2或-1 D.2或1

答案C

解析∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0,

∴f(x)+f(-x)=2x2,而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.

11.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

答案C

解析∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).

f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;

|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),

故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;

f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,

故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;

|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.

12.(多选题)(2021广东湛江二中高一期末)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x+a-2,则(　　)

A.a=2 B.f(2)=2

C.f(x)是增函数 D.f(-3)=-12

答案ACD

解析因为f(x)是R上的奇函数,故f(0)=a-2=0,得a=2,故A正确;

若x=2,则f(2)=4+2=6,故B错误;

当x≥0时,f(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,故f(x)是R上的增函数,故C正确;

f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D正确.故选ACD.

13.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2++t,则t=　　　　,f(-2)=　　　　　. 

答案-1　

解析因为函数f(x)为R上的奇函数,

所以f(0)=0,即-02++t=0,解得t=-1.

所以f(x)=-x2+-1.

所以f(2)=-22+-1=-.

又函数f(x)为R上的奇函数,

所以f(-2)=-f(2)=.

14.(2021山东临沂高一期中)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)=　　　　　. 

答案2

解析因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2),f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2),

两式相减可得f(2)=g(-2),若f(2)=2,

则g(-2)=2.

15.(2021山西运城高一期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.

(1)求函数f(x)在R上的解析式;

(2)若f(x)在[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.

解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,

则f(0)=0,若x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,又由f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x2+2x,

综上可得,f(x)=

(2)由(1)知f(x)=作出函数图象如图,

若f(x)在[-2,b)上有最大值,即函数图象在区间[-2,b)上有最高点,必有-2<b≤0或b>1,

故b的取值范围为(-2,0]∪(1,+∞).

新情境创新练

16.(多选题)(2021辽宁沈阳二中高一期中)已知f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),若f(1)=1,则下列判断正确的是(　　)

A.f(-1)=-1 

B.f(3)=1

C.f(x)=f(x+4) 

D.f(18)+f(19)+f(20)=-1

答案ACD

解析f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),即f(x)=f(2-x)=-f(-x),变形可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即f(x)=f(x+4),因此C正确;

若f(1)=1,则f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故A正确,B错误;

f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0,

又f(x)=f(2-x),令x=0,可得f(2)=f(0)=0.

因为f(x)=f(x+4),所以f(18)=f(2)=0,

同理,f(19)=f(3)=-1,f(20)=f(0)=0,则f(18)+f(19)+f(20)=-1,D正确.故选ACD.

17.(2021江苏无锡高一期末)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(　　)

A.(-1,2) B.(-1,-2)

C.(1,2) D.(1,-2)

答案A

解析设(a,b)为f(x)=x3+3x2图象的对称中心,则有y=f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b为奇函数.

设g(x)=(x+a)3+3(x+a)2-b,则g(x)为奇函数;

g(x)=x3+3(a+1)x2+3(a2+2a)x+a3+3a2-b,

又g(-x)+g(x)=0,可得3(a+1)x2+a3+3a2-b=0,所以解得

所以函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心的坐标为(-1,2).故选A.