高中3.3 幂函数一课一练

3.3　幂函数

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是(　　)

A.f(x)=3x2 B.f(x)=

C.f(x)= D.f(x)=x-3

答案C

解析函数f(x)=3x2,不是幂函数;

函数f(x)=,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)==x-4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;

函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C.

2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则下列关于f(x)的说法正确的是(　　)

A.奇函数 B.偶函数

C.定义域为(0,+∞) D.在(0,+∞)上单调递增

答案D

解析设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)图象过点(2,),∴2α=,∴α=,∴幂函数f(x)=.∵>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确;∵幂函数f(x)=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D.

3.已知a=1.,b=0.,c=,则(　　)

A.c<b<a B.c<a<b

C.b<a<c D.a<c<b

答案A

解析b=0.,c==1.,

∵>0,且1.2>>1.1,

∴1.>1.,即a>b>c.

4.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　. 

答案

解析因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<.

5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　　. 

答案9

解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.

6.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.

解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x2.

(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数,

∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4.

故实数a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).

等级考提升练

7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=(　　)

A.8 B.3 C.-1 D.

答案D

解析函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=,所以f(2)=,故选D.

8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f(x)=,若f(a-1)<f(14-2a),则a的取值范围是(　　)

A.[-1,3) B.(-∞,5)

C.[1,5) D.(5,+∞)

答案C

解析由幂函数f(x)=,若f(a-1)<f(14-2a),

可得,即得1≤a<5.所以a的取值范围为[1,5).

9.已知幂函数g(x)=(2a-1)xa+2的图象过函数f(x)=32x+b的图象所经过的定点,则b的值等于(　　)

A.-2 B.1 C.2 D.4

答案A

解析易知函数g(x)=(2a-1)xa+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g(x)=x3,幂函数过定点(1,1),在函数f(x)=32x+b中,当2x+b=0时,函数过定点,据此可得-=1,故b=-2.故选A.

10.函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值              (　　)

A.恒大于0 B.恒小于0

C.等于0 D.无法判断

答案A

解析由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.

11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是(　　)

A.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=x-3

B.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减

C.幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)

D.若函数f(x)=,则对于任意的x1,x2∈[0,+∞)有≤f

答案CD

解析若幂函数的图象经过点,则解析式为y=,故A错误;函数f(x)=是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B错误;幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C正确;任意的x1,x2∈[0,+∞),要证≤f,即,即,即()2≥0,易知成立,故D正确.

12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是 (　　)

A.函数y=xα的图象过原点

B.函数y=xα是偶函数

C.函数y=xα是减函数

D.函数y=xα的值域为R

答案AD

解析因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.

故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.

13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=　　　　　,f=　　　　　. 

答案2或3　4

解析幂函数y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,

∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得1<m<4.

由题知m是整数,故m的值可能为2或3,

验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f=4.

14.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.

(1)求实数m的值;

(2)当x∈(1,2]时,记ƒ(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.

解(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.

当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f(x)=x2,符合题设,故m=0.

(2)由(1)可知f(x)=x2,当x∈(1,2]时,函数f(x)和g(x)均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k,4-k].

∵A∪B=A,∴B⊆A.∴

∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1].

新情境创新练

15.(2020青海高一期末)已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m∈N*,则x-m=.

解(1)∵函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,

∴m2-2m+2=1,解得m=1,

故f(x)=x-2(x≠0).

(2)函数f(x)=x-2为偶函数.

证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2==x-2=f(x),故函数f(x)=x-2为偶函数.

(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.

证明如下:在区间(0,+∞)上任取x1,x2,不妨设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=

=,

∵x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,

∴x2-x1>0,x2+x1>0,>0,

∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.