高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数复习练习题

4.4　对数函数

4.4.1　对数函数的概念　4.4.2　对数函数的图象和性质

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为(　　)

A.[0,1] B.(0,1) 

C.(-∞,1] D.[1,+∞)

答案A

解析由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴log21≤log2(x+1)≤log22,即0≤log2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1],故选A.

2.已知函数f(x)=loga(x-m)(a>0,且a≠1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是(　　)

A.增函数 B.减函数

C.奇函数 D.偶函数

答案A

解析将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x>3,则函数不具有奇偶性.函数f(x)在定义域上是增函数.

3.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在-,0内恒有f(x)>0,则a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,2) D.(1,2)

答案D

解析由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.故1<a<2.

4.已知loga>logb>0,则下列关系正确的是(　　)

A.0<b<a<1 B.0<a<b<1

C.1<b<a D.1<a<b

答案A

解析由于loga>logb>0,则由对数换底公式可得>0,即<0,结合lg3>0可得lga<0,lgb<0且lga>lgb,因此0<b<a<1.故选A.

5.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)=(　　)

A.log2x B.lox

C. D.x2

答案B

解析因为y=ax的反函数为y=logax,又此函数经过点(,a),因此loga=a,解得a=,

所以f(x)=lox.

6.已知a=,b=log2,c=lo,则(　　)

A.a>b>c B.a>c>b

C.c>b>a D.c>a>b

答案D

解析∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.

7.(2021江苏南京六校高一期中)已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1),则f(x)的定义域为　　　　　,值域为　　　　　. 

答案(-∞,1)　R

解析令a-ax>0,即ax<a.

因为a>1,所以x<1.

因为a-ax>0,所以f(x)=loga(a-ax)∈R,因此,函数f(x)的定义域为(-∞,1),值域为R.

8.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.

(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.

解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).

由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9,

解得a=3或a=-3.

又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.

(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,

即f(x)的取值范围为(-∞,0).

(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.

等级考提升练

9.(多选题)已知a>0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是(　　)

答案ABD

解析∵函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,又函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确,故选ABD.

10.将y=2x的图象先　　　　　,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象(　　) 

A.先向上平移1个单位长度

B.先向右平移1个单位长度

C.先向左平移1个单位长度

D.先向下平移1个单位长度

答案D

解析y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1,所以将y=2x先向下平移1个单位长度,得y=2x-1.

11.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是(　　)

A.-e B.- 

C.e D.

答案B

解析∵函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=lnx,又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=ln(-x).又f(m)=-1,

∴ln(-m)=-1,m=-,故选B.

12.(多选题)(2020山东滕州一中高一月考)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(　　)

A.函数为增函数

B.函数为偶函数

C.若x>1,则f(x)>0

D.若0<x1<x2,则<f

答案ACD

解析由题知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x.

函数为增函数,故A正确;

f(x)=log2x不为偶函数,故B错误;

当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确;

因为f(x)=log2x往上凸,故若0<x1<x2,则<f成立,故D正确.

13.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　　　　. 

答案(0,1]

解析函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a≤1.

14.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:

①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能正确的关系式是　　　　. 

答案②④⑤

解析实数a,b满足等式log2a=log3b,即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,log2a=log3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知④成立,③不成立.综上知正确的关系式为②④⑤.

15.(2021安徽黄山高一期末)设f(x)=ax(a>0,且a≠1),其图象经过点,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称.

(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;

(2)若g(x)在区间[,c]上的值域为[m,n],且n-m=,求c的值.

解(1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点,所以,所以a=10,所以f(x)=10x.

因为f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,

所以102m·10n=100,

所以102m+n=102,所以2m+n=2.

(2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lgx(x>0),且为增函数,

所以g(x)在区间[,c]上的值域为[lg,lgc]=[m,n].

因为n-m=,所以lgc-lg,

所以lgc=2,则c=100.

新情境创新练

16.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.

(1)若1∉M,2∈M,求实数a的取值范围;

(2)若M=R,求实数a的取值范围.

解(1)由题意M={x|ax2+2x+a>0}.

由1∉M,2∈M可得

化简得解得-<a≤-1.

所以a的取值范围为.

(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.

当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;

当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.

所以a的取值范围为(1,+∞).