数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时作业

4.5　函数的应用(二)

4.5.1　函数的零点与方程的解

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间(　　)

A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2)

答案D

解析f(x)=ln2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln4-1>0,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.

2.(2021江西赣州高一期末)若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(k∈Z),则k=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案A

解析因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,

所以函数的零点在区间(1,2)内.又因为函数的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,

所以k=1,故选A.

3.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案C

解析根据题意,令x2-2x+3x=0,

解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;

令1++3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.

4.函数f(x)=x3-的零点个数是(　　)

A.0 B.1

C.2 D.无数个

答案B

解析作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个公共点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.

5.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点

B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点

C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点

D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点

答案AC

解析因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,

所以f(0)f(1)<0,

因为函数f(x)的图象在R上连续不断,

由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.

又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.

6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　. 

答案

解析因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,

所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.

结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,

且f(2)=1-5k>0,所以0<k<.

故实数k的取值范围为.

7.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.

解令x2-mx+a-m=0,

因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,

故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,

即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,

即a≤+m对任意的实数m恒成立.

∵+m=(m+2)2-1≥-1,

∴a≤-1.

∴实数a的取值范围是(-∞,-1].

等级考提升练

8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为(　　)

A.(-4,0)

B.(-∞,-4)∪(0,+∞)

C.(-∞,-4]∪[0,+∞)

D.[-4,0)

答案D

解析由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,

又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.

9.(2021北京丰台高一期末)已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案C

解析∵f(x)=

令f(x)=0,

当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);

当x>0时,-1=0,解得x=1.

所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.

10.已知实数x0是函数f(x)=的一个零点,若0<x1<x0<x2,则(　　)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

答案B

解析因为y=与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,所以当0<x1<x0<x2时,有f(x1)<f(x0)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0.故选B.

11.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:

则下列说法正确的是(　　)

A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点

B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点

C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点

D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点

答案B

解析由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.

由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.

虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.同理,在[5,6]上也如此.

12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是 (　　)

A.a<α<b<β B.a<α<β<b

C.α<a<b<β D.α<a<β<b

答案C

解析∵α,β是函数f(x)的两个零点,

∴f(α)=f(β)=0.

又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.

13.已知函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,则正数a的取值范围是(　　)

A.0, B.,2 C.,1 D.(1,2)

答案C

解析函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,

可得2x-1=0,解得x=0<1;(x-a)(x-2a)=0,可得x=a或x=2a,

由a≥1,2a<1,可得a∈⌀;由2a≥1,a<1,可得≤a<1,

综上可得a的取值范围是,1.故选C.

14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　　. 

答案a<b<c

解析画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.

观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.

15.若关于x的方程|x2-2x-2|-m=0有3个不相等的实数解,则实数m的值为　　　　　. 

答案3

解析令f(x)=|x2-2x-2|,则由题意可得函数y=f(x)与函数y=m的图象有3个公共点.画出函数f(x)=|x2-2x-2|的图象如图所示,结合图象可知,要使两函数的图象有3个公共点,则m=3.

16.(2021河南洛阳高一期末)已知函数f(x)=

(1)若f(a)=1,求实数a的值;

(2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围.

解(1)当a>0,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=,均满足条件.

当a≤0时,∵ea>0,ea+1>1,∴f(a)=1无解.

故a=.

(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.

当x≤0时,f(x)单调递增,1<f(x)≤2;

当x>0时,f(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,f=-.

故当1<m<2时,方程f(x)-m=0恰有三个解,即实数m的取值范围是(1,2).

新情境创新练

17.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.

(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;

(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.

解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.

则解得k=-2.

(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,

∴

则

∴α2+β2在区间内的取值范围为.故α2+β2的取值范围为.