高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念复习练习题

5.2.2　同角三角函数的基本关系

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.已知cos θ=,且<θ<2π,则的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案D

解析因为cosθ=,且<θ<2π,

所以sinθ=-=-.

所以tanθ=-,故=-.

2.已知cos α+sin α=-,则sin αcos α的值为(　　)

A.- B.± C.- D.±

答案A

解析由已知得(cosα+sinα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=,解得sinαcosα=-.

3.(2021北京东城高一期末)已知tan α=-1,则2sin2α-3cos2α=(　　)

A.- B.- C. D.

答案B

解析因为tanα=-1,则2sin2α-3cos2α==-.故选B.

4.若tan α=2,则+cos2α=(　　)

A. B.- C. D.-

答案A

解析+cos2α=,故选A.

5.若tan2x-sin2x=,则tan2xsin2x=　　　　　. 

答案

解析tan2xsin2x=tan2x(1-cos2x)

=tan2x-tan2xcos2x=tan2x-sin2x=.

6.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=　　　　　. 

答案0

解析原式=cosα+sinα·=cosα+sinα,

因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,

所以cosα+sinα=-1+1=0,

即原式等于0.

7.(2021福建泉州质检)已知θ为第四象限角,sin θ+3cos θ=1,则tan θ=　　　　　. 

答案-

解析由题意知(sinθ+3cosθ)2=sin2θ+cos2θ,得6sinθcosθ=-8cos2θ,又因为θ为第四象限角,所以cosθ≠0,所以6sinθ=-8cosθ,所以tanθ=-.

8.已知tan α=,求下列各式的值:

(1);

(2).

解(1).

(2).

等级考提升练

9.化简的结果为(　　)

A.-cos 160° B.cos 160°

C. D.

答案A

解析原式=

==|cos160°|

=-cos160°.故选A.

10.(2021河南郑州高一月考)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案A

解析θ为第三象限角,则sinθ<0,cosθ<0,sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=.

又sinθcosθ>0,∴sinθcosθ=.

11.若θ是△ABC的一个内角,且sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ的值为(　　)

A.- B. C.- D.

答案D

解析由题意知θ∈,π,所以sinθ-cosθ>0,sinθ-cosθ=.

12.若cos α+2sin α=-,则tan α等于(　　)

A. B.2 C.- D.-2

答案B

解析(方法一)由联立消去cosα,

得(--2sinα)2+sin2α=1.

化简得5sin2α+4sinα+4=0,

∴(sinα+2)2=0,

∴sinα=-.∴cosα=--2sinα=-.

∴tanα==2.

(方法二)∵cosα+2sinα=-,

∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5.

∴=5.

∴=5,∴tan2α-4tanα+4=0.

∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.

13.(多选题)化简的值为(　　)

A.-1 B.1 C.-3 D.2

答案ABC

解析原式=,

当α为第一象限角时,上式值为3;

当α为第二象限角时,上式值为1;

当α为第三象限角时,上式值为-3;

当α为第四象限角时,上式值为-1.

14.(多选题)已知tan2x-2tan2y-1=0,则下列式子成立的是(　　)

A.sin2y=2sin2x+1 B.sin2y=-2sin2x-1

C.sin2y=2sin2x-1 D.sin2y=1-2cos2x

答案CD

解析∵tan2x-2tan2y-1=0,-2·-1=0,

整理得sin2x·cos2y-2sin2y·cos2x=cos2y·cos2x,

∴(1-cos2x)(1-sin2y)-sin2y·cos2x=(cos2y+sin2y)·cos2x,即1-cos2x-sin2y+sin2y·cos2x-sin2y·cos2x=cos2x,

即sin2y=1-2cos2x=2sin2x-1,∴C,D正确.

15.已知cos,0<α<,则sin=　　　　　. 

答案

解析∵sin2+cos2=1,

∴sin2=1-.∵0<α<,

∴<α+.∴sin.

16.(2020河北衡水高一检测)设a>0,且a≠1,若loga(sin x-cos x)=0,则sin8x+cos8x=　　　　. 

答案1

解析设a>0且a≠1,若loga(sinx-cosx)=0,

所以sinx-cosx=a0=1,所以(sinx-cosx)2=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1,

又sin2x+cos2x=1,所以sinxcosx=0,又由=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1,

则sin4x+cos4x=1,所以sin8x+cos8x=-2sin4xcos4x==1.

17.若<α<2π,化简:.

解∵<α<2π,∴sinα<0.∴原式=

==-=-.

新情境创新练

18.已知θ∈(0,π),且sin θ,cos θ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和tan θ-的值.

解(方法一)由题意得sinθ+cosθ=,sinθcosθ=-,易知θ≠.∴sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

=×1+=.

tanθ-

=.

∵θ∈(0,π),sinθcosθ<0,

∴sinθ>0,cosθ<0,则sinθ-cosθ>0.

∴sinθ-cosθ=.

∴tanθ-=-.

(方法二)方程25x2-5x-12=0的两根分别为和-.

∵θ∈(0,π),且sinθcosθ=-<0,

∴sinθ>0,cosθ<0,则sinθ=,cosθ=-,

∴sin3θ+cos3θ=3+-3=,tanθ-=-=-.