人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质一课一练

5.4.3　正切函数的性质与图象

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.函数f(x)=的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案A

解析由题意得k∈Z,所以x≠(k∈Z),选A.

2.函数y=tan的一个对称中心是(　　)

A.(0,0) B.

C. D.(π,0)

答案C

解析令x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是,k∈Z.

令k=2,可得函数的一个对称中心为.

3.函数y=(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数,又是偶函数

D.既不是奇函数,又不是偶函数

答案A

解析函数的定义域为xx≠kπ+,且x≠π+2kπ,k∈Z,关于原点对称.

设y=f(x)=,

则f(-x)==-f(x).

所以y=f(x)是奇函数.故选A.

4.当-<x<时,函数y=tan|x|的图象(　　)

A.关于原点对称 B.关于x轴对称

C.关于y轴对称 D.不是对称图形

答案C

解析由题意得定义域关于原点对称,又tan|-x|=tan|x|,故原函数是偶函数,其图象关于y轴对称,故选C.

5.(2021吉林高一期末)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间0,上单调递增的是(　　)

A.y=sin 2x B.y=cos 2x

C.y=tan x D.y=sin

答案C

解析在区间0,上,2x∈(0,π),则y=sin2x不单调,故A错误;在区间0,上,2x∈(0,π),y=cos2x单调递减,故B错误;在区间0,上,y=tanx单调递增,且其最小正周期为π,故C正确;根据函数以π为最小正周期,y=sin的周期为=4π,故D错误.故选C.

6.若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为　　　　　. 

答案2或3

解析由题意知1<<2,即k<π<2k.又k∈N,所以k=2或k=3.

7.函数y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为,若-<θ<,则θ=　　　　　. 

答案-

解析函数y=tanx图象的对称中心是,其中k∈Z,则令2x+θ=,k∈Z,其中x=,即θ=,k∈Z.又-<θ<,所以当k=1时,θ=-.

当k=2时,θ=,所以θ=-.

8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.

解∵-≤x≤,∴-1≤tanx≤1.

令tanx=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.

∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,

当t=1,即x=时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

等级考提升练

9.与函数y=tan2x+的图象不相交的一条直线是 (　　)

A.x= B.x=-

C.x= D.x=

答案D

解析当x=时,2x+的正切值不存在,所以直线x=与函数的图象不相交.故选D.

10.在区间范围内,函数y=tan x与函数y=sin x图象交点的个数为(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

答案C

解析在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在区间内的图象,需明确x∈时,有sinx<x<tanx(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x∈时两函数的图象(注意正切函数的定义域),如图所示,由图象可知它们有三个交点.

11.(2021浙江余姚检测)方程tan2x+=在[0,2π)上的解的个数是(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

答案B

解析由题意知,2x++kπ,k∈Z,

所以x=,k∈Z.又x∈[0,2π),

所以x=0,,π,,共4个.故选B.

12.(多选题)(2020福建福州一中高一期末)下列关于函数f(x)=tan2x+的相关性质的命题,正确的有 (　　)

A.f(x)的定义域是

B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)

D.f(x)的对称中心是,0(k∈Z)

答案AC

解析对A,令2x++kπ(k∈Z),解得x≠(k∈Z),则函数y=f(x)的定义域是xx≠,k∈Z,A选项正确;

对B,函数y=f(x)的最小正周期为,B选项错误;

对C,令kπ-<2x+<kπ+(k∈Z),解得<x<(k∈Z),

则函数y=f(x)的单调递增区间是(k∈Z),C选项正确;

对D,令2x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),则函数y=f(x)的对称中心为,0(k∈Z),D选项错误.

13.(多选题)已知函数f(x)=tan x,x1,x2∈-(x1≠x2),则下列结论正确的是(　　)

A.f(x1+π)=f(x1)

B.f(-x1)=f(x1)

C.>0

D.f>(x1x2>0)

答案AC

解析f(x)=tanx的周期为π,故A正确;

函数f(x)=tanx为奇函数,故B不正确;

f(x)=tanx在区间-上单调递增,故C正确;

由函数f(x)=tanx的图象可知,函数在区间-,0上有f>,在区间0,上有f<,故D不正确.

14.已知函数y=tan ωx在区间内是减函数,则ω的取值范围为　　　　　　. 

答案[-1,0)

解析由题意可知ω<0,又,故-1≤ω<0.

15.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:

①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;

②f(x)的图象关于对称;

③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;

④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.

其中不正确的说法的序号是　　　　　. 

答案①

解析①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tanx,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tanx的图象,可知y=tanx关于(k∈Z)对称,令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.

16.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.

解y=tan-ax=tan-ax+,

∵y=tanx在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,∴a<0,

又x∈,∴-ax∈-,-,

∴-ax∈,

∴

解得-≤a≤6-8k(k∈Z).

由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.

∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意.

新情境创新练

17.设函数f(x)=asinkx+和φ(x)=btankx-,k>0,若它们的最小正周期之和为,且f=φ,f=-φ+1,求f(x),φ(x)的解析式.

解f(x)=asinkx+的最小正周期T=.

φ(x)=btankx-的最小正周期T=.

∵,∴k=2.

∴f(x)=asin2x+,φ(x)=btan2x-,

∴f=asinπ+=-asin=-a.

φ=btanπ-=-btan=-b.

f=asin=acosa.

φ=btan=b.

∴

化简得解得

∴f(x)=sin2x+,φ(x)=tan2x-.